XIX. — Des emanants et des polaires

Si Ton fait

P/sera ce que l'on appelle le premier imanant de la fonction homogenc/(#, y, z) 9 les quantity P 2 /, P 3 /, . . . seront son second, son troisieme, . . . imanant (t. I, p. a5o).

Les emanants sont ividemment des covariants. Voici une autre propridte dont nous ne tarderons point a reconnaitre rimportance. Posons

fiTUDE DBS POINTS S1NGULIERS. 195

et supposons la fonction/ enti&re et de degre m ; nous aurons, par la formule de Taylor,

si nous egalons les termes de degre n en x , y Q} . . . , qui sont a la fois de degre m — n en x 9 y, z, . . . , nous aurons

p* Qm-n

c'est la propriety que nous voulions etablir. Supposons maintenant que

soit liquation homog£ne d'une courbe de degre m; les courbes representees par les Equations

P/=o, PV=o, ..., P»/=o, ..., P*-«/ = o

seront ce que Ton appelle la premiere, la seconde, ... la

(m — iye«n« polaire de la courbe /= o par rapport au point

(ar ,J"o» £o),quiportealors ' e nom depdle. Nous dirons aussi

que P/= o est la polaire de degre m — i , . . . ; V m ~ 2 f= o

sera la polaire conique, P"*~ l /= o sera la polaire droite

ou du premier degr^. Les equations des polaires peuvent,

en vertu de la propriete demontree tout a Theure, s'ecrire

aussi

Q«-«/=o, Qm-«/ =0 , ..., Q/=o;

ainsi les equations de la /i k ' me polaire sont a volonte

ou

( x 3L+ y 3L+ M iL\

\ dx J dy dz J

On tire de la cette consequence :

Si le point ( x , y Qj z ) est sur la polaire de degri n du point (#, JK, z), le point {x,y y z) sera sur lapolaire de degri m — n du point (# > JKo> z ).

On sait que la polaire d'ordre m — 1 est la courbe qui passe par les points de contact des tangentes que Ton pcut mener du point (# , j , z ).

On sait aussi que, dans le cas ou la courbe est du second degr£, la polaire unique est une droite et que cettc droite a indifftremment pour Equation