XX. — Definition geometrique des polaires
Les polaires jouent un rdle important dans la th£orie des points singuliers, et il est bon, apr&s en avoir donn£ la definition analytique, d'en donner aussi une definition purement geometrique.
Considcrons m points en ligne droite A 4 , A 2 , . . ., A m et un point M situ£ sur la m6me droite; soit MA/ = 77, determinons un point M' tel que, en posantMM'= r, on ait
mil 1
- = 1 H...-K — ou
r r x r, r tn
le point M' sera dit conjugui harmonique par rapport aux points A,, A 2 , . . ., A ro . Deux points, M', M", seront definis par la relation
+* \r ~~ n) \r ~~ rj) ~ °'
on les appelle conjugues harmoniques du second ordre du point M. Les points conjugues d'ordre n sont au nombre de n et definis par la relation
lc nombre des facteurs sous le signe 2 etant n.
Etude des points singuliers. 197
Nous poser on s
L'equation /( -. ) = o aura pour racines les distances MA,, MA 2 , . . . , MA m , et si Ton observe que
le nombre des facteurs sous le signe 2 etant m — 1, on voit que /'( - ) = o fournira les points conjugu£s d'ordre m — 1 ,
/"(- ) = o fournira les points d'ordre m — 2, enfin
fournira le point du premier ordre.
Ceci pos£, soient
liquation rendue homogene d'une courbe d'ordrc m, et
un point quelconque de son plan; par ce point, menons une serie de s£cantes et cherchons sur ces s£cantes le lieu du point conjugue d'ordre n du point (^r , j' > «o)« A cet effet, posons
x = x Q -+■ ra, y = y -h rb, z = s -h re,
c d£signant une quantite nulle que nous introduisons pour la sym6trie; r sera la distance du point (x >J>'o> *o) au point (x,y, z) 9 et liquation
f(x ■+- ra, y -4- rb, z Q -+- re) = o
fera connaitre les distances r du point (x<^y 0} z ) aux points d'intersection de la s£cante issue de(x 0i y 99 z o) sous l'inclinaison a, b avec la courbe.
I98 CHAPITRB III.
Cette Equation peul s'6crire, en divisant par r m ,
Les conjugu6s harmoniques d'ordre m — n du point
seront donnas par la formule
rfV
('jy
ou
pour en avoir le lieu, il faudra £liminer de la a, b 7 c en les
remplagant par -, - — — > -, ce qui donnera, en
remarquant que r disparait,
Ainsi :
La polaire droite du point (x 0f y , z ) est le lieu des conjuguis harmoniques du premier ordre de ce pointy la polaire conique est le lieu de ses conjugues harmoniques du second ordre, et ainsi de suite.
