XXI. — Proprietes des polaires
Si un point M' est conjugu6 harmonique d'ordre n du point M par rapport a m points A 4 , A 2 , . . . , A m , le point M sera conjugu6 harmonique d'ordre m — n du point M' par rapport aux m£mes points. En effet, le point M' est d^fini par liquation
£TUDB DBS POINTS SINGULIERS. 199
Prenons pour origine le point M' et posons WAi^= r M'A 2 = r' 2 , ... et M'M = r f = — r, nous aurons
r/=MA/ = MM'+M'A/
ou
la formule (i) devient alors
ou
ou encore
2 J L__ * rt . . . = o.
1 LJL JL 1 L
r\ r' rj r r k
Si Ton multiplie cette Equation par elle prend la forme
le nombre des facteurs sous le signe 2 etant m — n. Le lh£oreme enonce" se trouve done d6montre\ De la d^coule cette proposition, de'ja d£montr£e pour une courbe d'ordre m :
Lorsque le point MI se trouve sur la polaire d'ordre n du point M, le point M se trouve sur la polaire d'ordre m — n du point W.
De la d£coule aussi cet autre the'oreme :
La polaire droite d'un point Mpar rapport & une courbe d 'ordre mposs&de, outre le point M, (m — i) 2 — i autres pdles, en tout (m — i) a . En effet, le point M' decrivant la
polaire droite de M, le point M se trouvera sur les polaires de degre* m — i du point M'; ces polaires forment done un faisceau passant par (m — i) 2 points fixes qui sont autant de poles analogues a m. Ce th^oreme est facile a gen£raliser.
XXII. — Influence des points singuliers sur la classe d'une courbe.
Je rappelle que la classe d'une courbe est le degre de son Equation tangentielle ou, si Ton veut, c'estle nombre des tangentes qu'on peut lui mener par un point donne.
Theoreme I. — La polaire de degri m — i d'une courbe de degre m, relative a un point M, passe par les points de contact des tangentes issues de M (x ,^'o? s ).
Ce the*oreme, d&ja d6montr£, r£sulte de ce que liquation de cette polaire est
df df df
et que cette Equation exprime aussi que la Ian gen te en M passe en x , y Q , z . II r£sulte aussi de ce que, quand sur rn points en ligne droite deux sont confondus, un de leurs conjugu£s harmoniques d'ordre m — i coincide avec eux.
Theoreme II. — La classe d'une courbe d'ordre m est en general m(m — i).
En effet, la polaire de degre* m — i coupe la courbe proposed en m (m — i) points (deja d£montre* avec plus de details).
Ce theoreme est soumis a quelques restrictions ; e'est ce qui va r^sulter des theoremes suivants :
Theoreme III. — i° Tout point singulier d'une courbe de degri m appartient & la polaire de degre m — i d'un point quelconque duplan.
2° Tout point triple de la courbe est un point de sa
polaire de degre m — 2, et un point double de la polaire de degre m — 1 d'un point quelconque duplan.
3° Tout point quadruple est un point de la polaire de degri m — 3, unpoint double de la polaire de degre m — 2, un point triple de la polaire du degri m — 1 d'un point quelconque duplan, etc.
En effet :
1 ° Un point de la courbe /= o, pour lequel on a
/1 = o, ft = o, f 3 = o,
appartient a la courbe
qui est la polaire d'ordre m — 1 du point quelconque 2 Un point triple de la courbe, pour lequel on a
appartient a la courbe
qui est une polaire de degre* m — 2 ; en ce point on a aussi, quels que soient x 0j y 0j z 0y
-fa (*o/i -*- ^0/2 ■+- *o/») = o>
d - (*o/i -*-.To/i +• *o/») = o ;
et la polaire du degre* m — 1 y possede un point singulier, et ainsi de suite. D'ailleurs, la th^orie des points conjugu^s cooduirait au me* me r^sultat.
Theoreme IV. — Quand la courbe possede un point de rebroussement oil en general un point singulier avec deux
202 GHAPITRB III.
tangentes confondues, la polaire de degre m — i est tangente en ce point d, la courbe.
En effet, prenons le point singulier pour origine; 1' equation de la conrbe sera de la forme
<p*, <p k+t , • • • d^signant des fonctions homogenes de degres k, k -t- i , . . . ; liquation des tangentes au noeud est
<P*(*>7) = °- Liquation de la polaire du point (x , y^ z ) est
-+- z [(m — k)z m - k - x yk~+-- -.]; les termes du degr6 le moins £lev6 en x ety sont
done (ce que Ton savait ddja) la polaire passe par les points singuliers, puisque k est au moins 6gal a 2, si l'origine est un point singulier; de plus (ce que Ton a vu £galement tout a l'heure), la polaire possede a l'origine un point singulier d'un ordre imm£diatement inferieur a celui que possede la courbe, en fin les tangentes au noeud de la polaire sont donnees par
dx J dy
Or, si <p*= o possede une racine double et si, dans ce cas, la courbe propos^e a deux tangentes confondues ou un rebrous-
sement, cette racine est simple pour-^ et pour-^*, et par
suite la polaire a pour tangente la tan gente double du noeud.
Theoreme V. — Une courbe d'ordre m est en general de la classe m(m — 1), mais la presence d'un point double
abaisse la classe de deux unites, celle d'un point de rebroussement ordinaire V abaisse de 3 unites, celle d'un point dont Vordre de multiplicity est n V abaisse au moins de n(n — i) unites.
Cela d^coule des th^oremes pr£c£dents : en effet, nous avons vu que, si d'un point M on mene des tangentes a la courbe, lous les points de contact appartiennenta la polaire de degre" m — i du point M; si la courbe n'a pas de points doubles, les m(m — i) points d'intersection de la courbe et de la polaire fourniront m(m — i) tangentes; mais, si la courbe a un point double, la polaire passera par ce point, et la droite men£e du point M au point singulier ne sera pas une tangente proprement dite. Ilya plus, la courbe, dans le voisinage du point double, coupera la polaire en deux points confondus, et deux tangentes disparaitront : ainsi la presence d'un point double abaisse bien la classe de deux unites. Si le point double en question £tait de rebroussement, la courbe et la polaire seraient tangentes et par suite se couperaient en trois points confondus : la classe serait done abaissee de trois unites. Enfin, un point d'ordre de multiplicity n etant un point d'ordre n — i pour la polaire, la courbe et sa polaire se coupent en ce point en n(n — i) points confondus, et la classe s'abaisse de n(n — i) unites au moins ; je dis au moins, parce que, si le point multiple consid£re* avait des tangentes multiples, la courbe et la polaire auraient des contacts qui augmenteraient le nombre de leurs points communs confondus.
Remarque. — Dans les raisonnements qui precedent nous avons fait usage de la polaire d'un point arbitraire, et e'est ce qui en fait la force ; nos conclusions pourraient tomber en d£faut si le p61e £tait choisi d'une maniere particuliere. Examinons, parexemple, ce qui arriverait si on le choisissait sur la courbe m£me.
Prenons pour origine le p61e : liquation de la courbe se pr£scntera sous la forme
*"*-*¥*(*, y)+ s™-*- 1 ¥*+!(#, 7)-+-. . .-+- cp m (ar, y) = o;
Torigine est un noeud si k > i . La polaire de degr6 m — i de l'origine aura pour Equation
(m — k)z m - k - l yk(&> y)-h z m - k -*(m — k — O^pjH-itojO-t-- . . = o.
On volt qu'elle a les m£mes tangentes que la courbe proposee et que le nombre de points communs aux deux courbes estbien sup^rieur a ce qu'il est dans le cas general. La seconde polaire a pour Equation
(m — k)(m — k — i)z m - k -*ojL.(x,jr)-h. . . = o;
elle a done aussi les m£mes tangentes que la courbe propos^e si m — k — i > o ou si m ^> k -f- i , sinon cette polaire a une forme indetermin^e.
Pour ne pas pousser trop loin cette discussion, considerons un point ordinaire de la courbe et prenons ce point pour origine. L'equation de la courbe sera
y =/3 m-i ?1 ( ir> 7)-h*»*-*cpj(^7)-4-...-h ?m (r,7) = o.
La polaire droite aura pour Equation
ce sera la tangente a la courbe elle-meme. La polaire conique aura pour equation
Z o dz^i - °
ou
(/?i — J)(m — 2). . . 2 5 <p! (a?, /)-+-( tfi — 2)(m — 3). . .2. i.<pj(#,/) = o
ou
(m — 1) <pt (x, y) -+- <p s (x, 7) = o,
et il est a remarquer que, si la courbe a un point double, l'equation de la polaire conique se r£duit a
e'est-a-dire a un sysleme de deux droites. La polaire du troi-
etude des points SINGLLIERS. 205
si6me degr6 d'un point triple se r£duirait a trois droites, et ainsi de suite.
On voit qu'en g£n£ral un point multiple d'ordre p d'une courbe se comporte comme un point ou seraient condenses p points dela courbe. Cetteremarque est la source d'un grand nombre d 'applications; montrons par quelques exemples son utility.
Si une courbe du second degr<* a un point double, une droite passant par ce point nc la coupe plus, a moins de la confondre avec elle; done la courbe doit se decomposer en deux droites.
Si une courbe du troisi&me degr£ a un point double, une droite passant par ce point ne la rencontre plus qu'en un seul point; il en r£sulte qu'en prenant ce point pour pdle, liquation de la courbe en coordonn£es polaires contiendrale carr£ du rayon vecteur en facteur; on pourra le supprimer et l'equation pourra £tre r^solue par rapport au rayon vecteur.
Une courbe du troisiime degre nepeut avoir deux points doubles, car la droite qui passerait par ces points doubles rencontrerait la courbe en quatre points et par suite ferait partie de la courbe qui se d£composerait en une conique et une droite.
Une courbe du quatrieme degri ne peut avoir plus de trois points doubles, car si elle en avait quatre, une conique passant par ces quatre points et par un cinqui£me point la couperait en neuf points; elle ferait done partie de la courbe qui se d£composerait en deux coniques. Nous g£n£raliserons plus loin ces r£sultats.
XXIII. — De la hessienne et de l'inflnence des points singuliers
8ur les points d'inflexion.
Nous avons vu que les points d'inflexion d'une courbe de degr6 m,
£taient donnas par celte Equation et par liquation
fu f\\ /is
fu fa /« =o,
/31 /si fa
que nous ecrirons pour abr£ger
H = o repr^sente une courbe de degr£ 3(m — 2), sur laquelle se trouvent les points d'inflexion, qui par suite sont au nombre de3m(m — 2). On a donn£ a cette courbe lenomde hessienne de/= o, et l'on peut en donner la definition g£om^trique suivante :
La hessienne d'une courbe est le lieu des points pour lesquels la polaire conique se riduit & deux droites.
En effet, la polaire conique du point (#, y^ z) a pour equation
XVn -+- Y«/„ -f- Z«/ii ■+• ^ YZ/ 23 -4- aXZ/„ -4- aXY/,, = o,
X, Y, Z d£signant les coordonnees courantes. Pour que cette
conique se r6duise a deux droites, il faut que Ton ait pr£ci-
sement
Ainsi Ton peut dire que la hessienne est le lieu des points pour lesquels la polaire conique a un point singulier \ on peut dire aussi que :
La hessienne est le lieu des points singuliers de la premiere polaire de la courbe proposee.
Et, en effet, si l'on d^signe par (x , y , z ) les coordonnees du p61e, Inequation de la polaire du(n — iycme J e g r £ ou <j e | a premiere polaire sera
Exprimons que le point x, y, z est singulier; pour cela, il
Etude des points singuliers. 207
faudra ^galer a z^ro les deriv£es du premier membre de cette Equation, prises par rapport a x, y 9 z, ce qui donnera
#o/n -+-^o/n ■+■ -So/is = o, #0/11 -»-7o/«2 ■+■ ^0/13 = o, #o/»i -+-70/32 ■+■ ^0/33 = o.
En £liminant x 09 jKo? z o entre ces Equations, on a lelieu des points singuliers dela premiere polaire. Ce lieu, com me on le voit, n'est autre chose que la hessienne. c. q. f. d.
La th^orie des polaires permet d'ailleurs de retrouver directe'ment la formule H = o. En effet, si Ton prend un point d'inflexion pour origin e et la tangente en ce point pour axe des x y Fequation de la courbe prend la forme
z m ~ l y -+- z m - % (ay % -+- bxy) -4- z m ~ z <p s -+-... -+- <p, w = o,
de telle sorte que, pour j' = o, liquation en x ait une racine triple e*gale a z£ro. La polaire conique de l'origine est
(m — i)(/w — 2) . .. %yz-\-{m — %).. .*,i{ay*+- bxy) = o\
cette Equation repre"sente deux droites dont Tune est l'axe des x.
Re'ciproquement, si la polaire conique repre'sente deux droites, on peut supposer que Tune soit Taxe des x ety sera facteur dans liquation de la polaire conique, a savoir dans
m / t , et par suite dans les deux premiers termes de/; en effet, ^4 <kant <§gal a pyz 4- ay* + byx, j^ sera <*gal a
py 1- -±.( a y 2 -j- bxy)z -h <p 3 , ou <p 3 est un polyn6me de degre
3 en x et y. En remontant ainsi jusqu'a/, on voit que j' restera facteur dans les deux premiers termes ; par suite, pour y = o, on aura trois racines nulles en x, et le point en question sera un point d'inflexion. On voit done que les points d 'inflexion appartiennent au lieu des points pour lesquels la polaire conique se reduit a deux droites, lieu dont liquation est ^videmment H = o.
Theoreme. — i° La hessienne d'une courbe passe par ses points singuliers ; 2° les points singuliers de la courbe sont singuliers pour la hessienne ; 3° les tangentes au nceud sont les mimes pour les deux courbes.
D'abord, si Ton a f K = o, f 2 = o, / 3 = o, il est facile de constater que Ton a H = o; cela resulte de ce que les Equations f K = o, / 2 = o, / 3 = o, qui sont celles d'un point singulier, peuvent s'Ecrire
*fn -Hj/n ■+■ */i3 = o, vfw+yfm + s/ n = o,
*fii •*-?/** -*- x fi* = °>
et, pour que ces equations aient lieu en m£me temps, il faul que H = o. Plagons I'origine en un point singulier; l'equation de la courbe sera
/= z m - k *?k(x, /)-+- z**-*-* ©am-i(^, y)+- . . + «p«(^t y) = o.
fieri vons-la ainsi
en mettant o au lieu de cp*; on aura
z m-ky n .+. e,, *»*-*<p 12 -+- 0„ *'»-*-* <pi (m — A) -+- l3
et les termes du degre* le moins eUeve* dans H seront, en supposant z = i et en negligeant les facteurs constants,
?i ?i (in — A:— i)<f>
Si <p est du second degrE, les termes du degre le moins 6leve dans H seront aussi du second degre" et la hessienne aura aussi un point double. Si <p est du troisieme degr£, la courbe proposed a un point triple, les termes du degre le moins 6lev6 dans la hessienne seront du cinquieme degre et elle aura un point quintuple, etc.
ETUDE DES POINTS SINGULIERS. 20g
Quand le noeud est seulemenl un point double, cp peut £tre pris £gal a xy et le determinant (i) prend la forme
y x (m — 3)xy
= —(m — 5)xy,
et la hessienne a les m£mes tangentes que la courbe proposed.
Si 1'on suppose <p =y 2 9 la courbe poss£dera un rebrousse-
ment et le determinant (i) devient nul; il faut alors avoir
e*gard aux termes en 0; liquation de la courbe peut s'e'crire
et Ton a
z m-2yi ! z m-% 6 -+- . . . = o,
z m -*§xi iz m - % 2.(m — i)z m ~*y
(m — Z)z m - l >§ i iy(m — i)z m -* (m — 'S)(m--i)z m - 1 *y i
ou, en n'ecrivant que les termes du degre* le moins £lev£, et en n£gligeant un facteur constant,
La hessienne a done un point triple et deux tangentes communes avec la courbe propose* e.
De la r£sulte que la presence d'un point singulier fait apparaitre dans la hessienne un autre point singulier :
i° Si le point singulier est un point double ordinaire, la hessienne a un point double et deux tangentes communes avec la courbe, ce qui fait six points confondus avec celle-ci ; done:
Un point double ordinaire fait disparattre six points d' inflexion.
2° Si la courbe proposed a un rebroussement ordinaire, la hessienne a, en ce point, un point triple et deux tangentes communes, ce qui fait huit points communs confondus ; done : L. — Traite d' Analyse, II. i4
Un point de rebroussement ordinaire dans une courbe fait disparattre huit points d 'inflexion.
3° On verrait, (Tune fa^on analogue, que la presence d'un point triple fait disparaitre au moins quinze points d'inflexion de la courbe propos^e.
Remarque. — Une courbe du troisieme degr£ a 3.3. i = 9 points d'inflexion; mais, quand elle a un point double, ellc n'en possdde plus que trois, et, quand elle a un rebroussement, elle n'en poss^de plus qu'un.
