XXIII. — Formnle8 de Plucker

Supposons qu'une courbe ne contienne que des singu larites ordinaires. Soient

m son degr£;

n sa classe;

3 le nombre de ses points doubles;

t celui de ses tangentes doubles ;

i le nombre de ses inflexions ;

r celui de ses rebroussements.

Un point double ordinaire abaisse la classe de deux unites etun rebroussement ordinaire de trois unites ; donc,le nombre qui exprime la classe £tant en general m(m — 1), on aura

La th£orie des coordonn£es tangentielles fournit P equation analogue

Un point double fait disparaitre six inflexions, un point de rebroussement ordinaire huit; done 3/w(m — 2) 6tant le nombre des inflexions d'une courbe qui n T a pas de points singuliers, on devra avoir

fiTUDE DBS POINTS 8INGULIERS. ail

La th6orie des coordonnees tangentielles donnerait (4) r- 3n(/i — a) — 6-r — Si.

Les formules (i), (2), (3), (4) sont ce que I'on appelle les for mules de Pliicker.

Ces formules (1), (2), (3), (4) ne sont pas distinctes; car, en ajoutant les deux premieres, d'une part, et les deux dernieres d'aulre part, apres les avoir multiplies par 3, on obtient des r^sultats identiques.

Si une courbe n'a pas de points doubles ni de points de rebroussement, les formules (1) et (2) donnent

et la formule (2)

Ainsi une courbe de degre* m sans points doubles et sans rebroussements a — — tangentes doubles.