XXIV. — Snr la courbe appelee jacobienne

Si Ton considere les trois courbes

et si Ton d£signe toujours les d£riv£es relatives a x, r, z par les indices 1, 2, 3, la courbe representee par liquation

d(x,y, z) ou

sera ce que Ton appelle la jacobienne des trois courbes :

Quand trois courbes passent par un mime point, la jacobienne passe par ce point.

212 CHAPITRK III.

En efTet, en appelant m, /*, p les degr^s de cp, y, t|>, on a si done on design e par J le premier membre de (i), on a

<Ky, <M d(<k m) , d(o. y)

Done J est mil quand on a a la fois cp, ^, ^ = o ; done, etc.

Quand trois courbes de mime degri passent par un mime point, la jacobienne a en ce point une singularity.

En effet, en differential! I (2), on a

dJ d d(y y <],) d d(t|i, cp) d d(<p, 7)

da: T dx d{y, z) *■ dx d(y, z) * 7 ox d(y, z )

Jrm ^l d (x>*) ^ n & d W> ?> + p W d( ^ x) .

dj? d(y, z) dx d(y, z) ^ dx d(y } z)

Or, quand cp, ~fo ty sont nuls, J Test aussi, et Ton a

(A) x d} = in ** * ( *' * } 1 n **- ^' ?) p ^ d(? * X) d# do? d(j^, *) da? d(^, *) ' F dx d(y, z)

Si done m = n=p, le second membre est £gal a /nJ, e'est-

a-dire a ze>o, et— > -r-> -r- sont nuls.

' da? a/ dz

Si y = oetty = o sont de mime degre n et passent toutes deux par un point double de cp = o, la jacobienne dfe cp = o, y = o, ty = o aura aussi un point double au mime point, et de plus les tangentes aux deux noeuds seront les mimes.

C'est ce qui resulte de la formule (A) ; en effet, si n =p el

si -^ = o, on pourra y remplacer m -r 1 A , \ par n -r 1 >, ; dx ' r J r dx d(y, z) r dxd(y f z)

cette formule (A) pourra alors s'^crire

dJ

ETUDE DBS POINTS SIHGULIBRS. 2l3

d'ou Ton conclut que J a ses trois derives nulles. De plus (A.) peut s'ecrire

En diflf^rentiant par rapport a x et y, on a

[dx* d(y, &) dx dx d(y, z)\ dx*

<krc>/ ; L^cj^ d(j, *) &r cj^ ^(7, *) J ^7

et, ail point commun,

d«FC7 v eJ/aa? a(7, *)

on a done J n : <p n = J l2 1 <p<2 = J<s 1 <p<s = . . - , ce qui met en Evidence Pidentite* des tangentes.

Enfin on peut encore observer que, si % = o, ^ = o sont de mime degr£, la jacobienne touchera ^ = o aux points communs.

En effet, (A) peut s'ecrire, en supposant J = o,

dx v ' dx d{y, z)'

en difTeYentiant (2) par rapport ky> on aurait

X dy-^ m n) dyd{y,z) et, par suite,

da? " <fcr ~~ dy ' dy ~~ dz ' dz

La jacobienne de trois cercles est le cercle qui coupe orthogonalement ceux-ci.

On peut donner cette definition g6om£trique de la jacobienne :

2l4 CHAPITRB III.

La jacobienne de trois courbes est le lieu des points pour lesquels les polaires droites concourent en un mime point.

En effet, ce lieu est donn6 par l'elimination de a, j3, y enlre

dy ft dy dx dy

a — -f- 3 — dx dy

a — - dx

1 dz

La jacobienne de <f = o, ^ = o, <t = o es£ auttt /e //ew cfes points doubles des courbes comprises sous la forme

*? -*- MC ■+■ v ^ = °-

Lorsque le premier merabre de la jacobienne de trois courbes est identiquement nul, Tune des courbes, si elles sont de mSme degre, doit passer par les intersections des deux autres ; ainsi la condition necessaire et suffisante pour que trois courbes de mime degre f assent partie d'un faisceau est que le determinant de leurs premiers membres soit nuL

Quand Tune des courbes, ^ = o par exemple, se r^duit a une droite, la jacobienne est le lieu des points dont les polaires concourent en des points situ£s sur la droite donnee.

Quand deux des courbes ty = o, % = o se r^duisent a des droites, la jacobienne est la polaire du point de concours de ces droites.

Supposons trois coniques rapportees a un triangle con-

jugu6

a x*-hb y*-hc z* = o,

Leur jacobienne sera

ax by cz a'x b'y c'z a'x b'y c'z

= o ou xyz A = o ;

Etude des points singuliers. 2i5

elle se r^duira alors a trois droites, a moins que le determinant A des coefficients ne soit nul, auquel cas les coniques feraient partie d'un faisceau.

On peut d£finir la hessienne d'une courbe le lieu des points doubles de la premiere polaire de cette courbe.

En effet, si l'on considere la courbe

sa premiere polaire sera, pour le point (#o»JK<m "o)>

Pour que cette polaire ait un point double, il faut que Ton ait a la fois

/ 07o/ll T-yo/lt 4- <5<>/t3 — O, ( 2 ) I Xofu t-Jo/m f *o/« = O,

r^limination de # , y e , z fournit bien la bessienne.

La steinirienne d'une courbe est le lieu des points pdur lesquels la premiere polaire a un point double ; pour avoir la steinlrienne de la courbe ( 1), il faut eliminer x, y y z entre les Equations (2), ce qui fournit, en appelant n le degr£ de/, une Equation de degr£ 3(ai — 2).

La cayleyenne d'une courbe est Tenveloppe des droites, telles que AB, A ddsignant un point pour lequel la premiere polaire de la courbe a un point double B.

XXV. — Sur le nombre des normales que Ton pent mener par un point donne a one courbe algebrique.

Liquation d'une courbe de degre m 6tant (1) / = o,

liquation de la normale est

2l6 CHAPITRE III.

cette Equation, quand on suppose X, Y donnas, est celle d'une courbe de degr£ m qui rencontre ( 1 ) aux points qui sont les pieds des normales menses de X, Y a cette courbe (i). Done on peut, en g£n£ral, mener m 2 normales par un point donn£ a une courbe d'ordre /n.

Mais, si la courbe (i) a 8 points doubles et r points de rebroussement, ces points appartiendront a (2), car (2) est

satisfaite quand on a -^- = o, -- = o; de plus, il est facile de

voir que, si le point (#, y) commun aux courbes (1), (2) est un rebroussement de (1), les courbes (1) et (2) y ont m£me tangente. Supposons en effet que le point (x,y) soit pris pour origine, les Equations (1) et (2) s'^criront sous la forme

La tangente a l'origine a la seconde courbe a pour Equation yft* + x f* a = °j car cette quantity est 6gale a yfn -f- xf K \ a un facteur pr&s, ind£pendant de x ety, puisque

x */t 1 -4- 2 xyfn -4- ^ l /«

est le carr£ parfait de \Jf K K x 4- y/^ly ou , si Ton veut,

(*Vii+ a^r/u +-7 1 /**) =/7i L/n^ -+-/n7] 1 = • • • ;

ainsi par un point donn6 on pourra mener, en g£n£ral,

ni* — 28 — 3r

normales. Soit n la classe de la courbe :

en appelant N le nombre cherch£ de normales, on a ainsi

II y a une exception a cette r&gle. Soient T le nombre de fois que la droite de l'infini est tangente a la courbe,/? le nombre de fois qu'elle passe par les points circulaires de l'infini : la

droite qui joindra le point (X, Y) aux points de contact avec la droite de Tinfini pourra 6tre consid£r£e comme une norraale qui ne doit pas compter dans le nombre N ; les droites qui joignent le point (X, Y) aux ombilics sont aussi des normales, puisque les droites iso tropes sont normales a ellesm£mes ; ces normales ne doivent pas compter dans le nombre N, de sorte qu'en r^alite on a

N = /n-4-/i — T— ip.

On peut mener quatre normales a l'ellipse par un point ext£rieur; si l'ellipse d6gen6re en parabole, on ne pourra plus en mener que trois; si elle d£g£n£re en cercle, on ne pourra plus en mener que 4 — 2 = 2.