XXVI. — Snr les developpees des courbes algebriqnes

On a vu comment on trouvait liquation de la developp^e d'une courbe; le proc£d£ le plus simple consiste a chercher Fenveloppe des normales. II s'agit maintenant de trouverle degre, la classe et les singularity de la d£velopp£e d'une courbe algebrique.

Nous gen£raliserons a cet effet la notion de d£veloppee comme il suit :

Etant donnas deux points A et B, menons par un point M de la courbe S, dont nous voulons etudier la d£velopp£e, la tangente; soientTle point oucette tangente rencontre AB etN le conjugue harmonique de T par rapport a A et B : MN sera la pseudo-normale de S en M, l'enveloppe de cette pseudonormale sera la pseado-developpee de S.

Cherchons en combien de points la pseudo-d£velopp£e de S rencontre la droite AB; soient m le degr£ de S, 8 le nombre de ses points doubles, r le nombre de ses rebroussements, i le nombre de ses inflexions, n sa classe; soient m r , 8', . . . les n ombres analogues pour la pseudo-d£velopp£e S'.

i° II pourra y avoir un point de S' sur AB, parce que de ce

2l8 CHAP1TRE HI.

point on pourra mener deux pseudo-normales infiniment volsines; deux tangentes infiniment voisines au point M de la courbe proposed viendront alors se couper sur AB, le point M sera un point d'inflexion : le nombre m! se composera done de i.

2° II pourra y avoir un point de S' sur AB si le point M est un des points d'intersection de S avec AB; ce point coincidera avec M et sera un point de rebroussement, la tangente en S' sera la droite AB. En effet, a deux points voisins de M, dont les tangentes concourront sur AB, correspondront deux pseudo-normales passant par un me'me point de AB et infiniment peu inclinees sur AB; chacun de ces nouveaux points comptera alors pour trois points d'intersection : m! se composera done non seulement de i, mais de 3 m.

3° Quand une tangente a S passe en A ou en B, la pseudonorm ale se confond avec la tangente : si la courbe S ne passe pas en A, il ne se pre'sente rien de particulier; mais, si cette courbe passe en A, le point A n'est plus un rebroussement, mais un point ordinaire.

4° Quand la courbe S est tangente a AB en M, le point de contact M, qui compte pour deux, ne fournira qu'un rebroussement.

En r£sum£, si Ton appelle p le nombre de fois que la courbe passe par les points A ou B, y le nombre de points de S confondus sur la droite AB, on aura

Supposons que A et B soient les ombilics du plan : cettc formule aura encore lieu, et la developpee aura son degre* m r donne par la formule prece'dente. Mais,/) d£signant le nombre defois que la courbe proposed passe par unombilic, 'ip design era le nombre de fois qu'elle passe par les deux ombilics, et il conviendra d^crire

m'= i-r-Zm — 3 ( %p -+- q ).

Soit n' la classe de la d6velopp£e : ce nombre est £gal au

fiTUDE DES POINTS SINGULIERS. 219

n ombre des normales que Ton peut mener par un point a la courbe proposed ; done

n' — m -r- n — (ip — q ).

Cherchons enfin le nombre i' des points d'inflexion de la d£velopple. Ces points ne peuvent provenir de points de la courbe proposed situls a distance finie, caril faudraitque deux normales menses en des points infiniment voisins du second ordre fussent paralleles. Mais il pent y avoir des points d'inflexion a l'infini ; si le point correspondant de la courbe est un ombilic ou un point de contact avec la droite de l'infini, en sorle que

les formules de Pliicker feront alors connaitre le nombre des points doubles et des rebroussements ; on a en eflfet

EXERCICES ET NOTES

I. De la Gournerie a appele triangulaires les courbes representees, en coordonnees trilin£aires, par une equation de la forme

Discuter ces courbes. La polaire reciproque d'une triangulaire est une triangulaire quelle que soit la conique directrice.

2. Si Ton appelle diamitre d'une courbe le lieu des milieux des cordes paralleles a une direction fixe, on propose : i° de determiner 1'ordre et la classe des diametres d'une courbe de degre m; 2 de discuter les singularity de ce diamdtre; 3° de demontrer que 1'enveloppe des diametres d'une courbe d'ordre m est d'ordre (m — i)(#i — 2) et de classe m — 1.

3. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits a une courbe de classe m est d'ordre m(m — 1) : 6tudier les singularites de ce lieu.

4. Lorsque plusieurs courbes d'ordre m ont m points communs, leurs polaires d'un point donne se coupent en un m&me point.