I. — Coordonnees homogenes

Nous repr^senterons souvent les coordonnees d'un point dans 1'espace, non plus par x, y, z, mais par - , ~, -■; alors

x > y> z i t seront les coordonnees homog&nes de ce point et les rapports de ces quantity k Tune d'elles seront seuls determines. Si, dans lMquatien d'une surface

(i) f(*>yt *) = <>i

on change x,y, z en -- > — > - > et si Ton chasse les ddnomina-

teurs, cette Equation se transforme en une autre homogenc, de m£me degre que (i),

et qui, pour t = i, reprend la forme (i). Les points a l'iniini correspondent a la valeur t = o de t. Si Ton remarque que toute Equation du premier degr£ en x y y, z, t repr^sente un plan, except^ liquation qui ne contient que la variable I, on pourra convenir de dire que cette equation elle-m£me repr£sente encore un plan rejet^ a l'iniini ou leplan de Vinfini; d'ailleurs liquation t = o est liquation limite vers laquelle converge liquation

ax -+- by ■+- cz ■+■ dt = o, quand les coordonnees a l'origine > — r > croissent

222 GHAPITRE IV.

indefiniment, c'est-a-dire quand le plan repr^sente par cette Equation se transporte a Finfini.

Tous les points a l'infini peuvent done e*tre consideres comme appartenant au plan analytique t=o.

Rappelons que tout plan coupe une surface d'ordre m suivant une courbe d'ordre m dont une partie ou la totalite pourra etre transport^ a l'infini.

Rappelons aussi qu'une courbe est du degre m quand elle est couple par un plan en m points situes a distance finie ou infinie.

Supposons que, par un point de coordonne"es x^y*, z , on mene des droites rencontrant la surface representee par Fcquation

a Vinfini. En d'autres termes, supposons liquation (1) algebrique ct de degre m; en general, la droite representee par

la rencontrera en m points, dont les p, ou distances au point #0? JKoj z , seront donn^es par la formule

(3) f(x -i-ap y y -i-bp f z ~ ( -cp) = o.

Si cette Equation en p s'abaisse au degre m — 1, on pourra dire qu'elle a alors une racine infinie, et que Tun des points d'inlersection de la droite (2) et de la surface est a l'infini. Si Ton appelle <p(#, y, z) Fensemble des termes de degre le plus eleve dans /(#, y, z), on voit que, pour qu'une droite telle que (2) rencontre la surface a Finfini, il faut et il suffit que <p(a, b, c) = o, condition independante de x , y , s , qui montre que toute droite parallele a une droite rencontrant la surface a Finfini la rencontre elle-m£me a Finfini.

Les droites qui rencontrent une surface a Finfini sont des droites asymptotiques, leurs directions forment les directions asymptotiques; les droites asymptotiques passant en x o> y*i *o forment le c6ne des directions asymptotiques rela-

INFINIMENT PETITS DU I er ORDRE DANS I/e SPACE. 223

tives a ce point; pour obtenir son Equation, on ^limine a, 6, c entre <p(a, b, c) = o et les Equations (2), ce qui donne

Le cone des directions asymptotiques porte parfois le nom de cdne directeur. Dans les surfaces engendrees par une droite mobile, les droites generatrices de la surface sont £videmment des directions asymptotiques.