II. — Tangentes aux courbes gauches

La tan gen te en un point M d'une courbe gauche se deTinit comme la tangente a une courbe plane; c'est la limite des positions que prend une se*cante passant au point M, quand un second point d'intersection vient se confondre avec ce point M.

Les equations g^n^rales des droites qui passent par un point M d'une courbe ayant pour coordonne"es x, y, z, et par un second point ayant pour coordonnees x -\- kx,y -f- Ar, z -f- Aw sont

X — x Y--y Z — z Aar Ajk A;;

Dans toute courbe le z est une variable dont Vx et Yy sont fonctions; plus generalement, on peutsupposer x,y, z fonctions d'une variable ind^pendante quelconque t. En multipliant les Equations (i) par \t = dt et en supposant que le point x 4- A#, y -+- A)', z -h As vienne se confondre avec x, y, z, les Equations (1) deviennent, pour Al = o,

z', y y z' d£signant les deVivdes de x, y, z relatives a t . Nous remplacerons plus souvent ces Equations par les suivantes

dx dy dz

que Ton obtient en divisant les premieres par dt.

224 GHAPITRB IV.

Ce sontles Equations g6ne>ales de la tangente k une courbe dans l'espace. Si Ton suppose z = t^ elles prennent la forme

Ces Equations sont celles de la tangente a la projection de la courbe sur les plans des xz et des yz. Ce qui d£montre que la tangente a la projection d'une courbe sur un plan est la projection de la tangente a la courbe sur ce plan; ce qui etait presque Evident a priori.

La tangente a une courbe gauche en un point M est en general la limite des positions que prend une sicante quand deux points d y intersection viennent se confondre en M.

En efiet, les Equations d'une s6cante passant par les points de la courbe x i9 y 1: z K et # 2 ,jp 2 , z 2 ont pour Equations

et si x et y sont d£veloppables par la formule de Taylor limited k son premier terme , on pourra £crire

£' et V d^signant des valeurs de -j-? -j- pour une valeur de z

comprise entre z K et z 2 ; les equations de notre s£cante s'ecriront alors

En passant aux limites et en supposant de plus -yj> -jcontinus, on retombe sur les equations (2). Mais cette conclusion suppose x, y, -^ > -J- continus. S'il en 6tait autre-

ment, on dirait que le point (x, y, z) est un point singulier de la courbe, et notre thloreme pourrait cesser d'etre exact.

INFINIMENT PETITS DU I er ORDRK DANS l'eSPACE. 225

Toutefois, ne sont pas considers comme singuliers les

points oii -j- ou ~~ seraient infinis, si cette circonstance dis-

parait par un changement de coordonn£es. Tous les raisonnements que nous ferons dor£navant supposeront, a moins que l'on ne pr£vienne express£ment du contraire, que Ton n'a jamais affaire a des points singuliers.

Pour exprimer qu'une droite representee par les Equations

est tangente a une courbe, il suffira, d'apr&s ce que Ton vient de voir, d'exprinier qu'elle rencontre la courbe en deux points confondus, ce qui se fera en £crivant que les Equations (3) et celles de la courbe ont deux solutions communes confondues, ou, si Ton veut, que les Equations en p, obtenues en portant dans les Equations de la courbe

x -*-ap, yo + bp, *o-hcp

a la place de X, Y, Z, ont une solution double commune. (Toutefois il faut bien faire attention qu'une droite rencontrant une courbe en deux points confondus en un point singulier n'est pas toujours tangente.) On pourra aussi, et cela vaudra mieux, exprimer que la droite (3) coincide avec une tangente, en identifiant les formules (3) avec (2); on a alors

dx CL

x -¥■ CL — z) -p- = :r -+-(Z — Zq) - > x dz c

y + (Z-. z )JL ==7o h (Z z )-.

Ces formules devant avoir lieu quel que soit Z, il faudraque

dx a

X — Z —i — == Xq — ~ Zq — y

dz c

dy b

y-*Tz=y»- z >v

dx __ dy __ dz a ~~ b ~ c

?a6 CHAP1TRB IV.

En £liminant x,y, z entre ces Equations et celles de la courbe, on aura les conditions du contact.