IV. — Plans tangents anx surfaces courbes
Supposons que les Equations d'une courbe soient donn6es sous la forme
Cherchons les Equations dc la tangente au point (#, y, z). Ces Equations sont
(a ' ~dx~ ~ ~~dy~ ~~ ~dz~'
mais il reste a remplacer dx, dy, dz par leurs valeurs que Ton dlduira de (i) apr£s les avoir diflerenti£es, ce qui donne
t df , df df
I ~ dx -\- v- dy -4- ~ rt.s =-= o, \ ux ay J oz '
I d-r ()/ <te
Les equations de la tangente s'obtiendront en lirant -r- et -,- 1 ° dz dz
de (3) pour porter leurs valeurs dans (2), ce qui revient a eliminer dx, dy\ dz entre (2) et (3). Cctte elimination peut se faire en rempla<;ant, dans (3), dx, dy, dz par les quantites proportionnelles X — x, Y — y, Z — z tirees de (1); ce qui donne
* l v ' x <ty u*
telles sont les equations de la tangente.
L'une de ces Equations est ind£pendante de la forme de la fonction /; c'est ('equation (5); Pautre equation (4), qui est du premier degr£ en X, Y, Z, et qui par consequent repr£sente un plan, reste la mgme quand on fait varier 6 d'une fagon
228 GHAPITRE IV.
quelconque. En faisant varier la forme de 0, on engendre une s£rie de courbes situ£es sur la surface /=o, et passant en a;, y, z; Tune des Equations (4) des tangentes a ces courbes est done la m£me pour toutes ces courbes : elle repr^sente done le lieu des tangentes a ces courbes. Ce lieu est, comme Ton voit, un plan; on lui a donn£ le nom de plan tangent en x, y, z a la surface /= o.
Liquation (5) est de m^me celle du plan tangent a la surface 8 = o ; on peut done dire que la tangente enM a une courbe, intersection de deux surfaces, est I' intersection des plans tangents & ces deux surfaces au point M.
La notion de plan tangent est si importante que nous allons nous y arrGter un instant. Le plan tangent en un point d'une surface est le lieu des tangentes menses par ce point a la surface. Cette definition ne peut 6tre adoptee que quand on a prouv£ que le lieu des tangentes est bien un plan. 11 n'en est pas toujours ainsi, et la demonstration pr£c£dente, examinee avec soin, le prouverait; car, si -p > -p et -£ 6taient nuls
tous trois, elle tomberait en defaut.
En g£n£ral, en un point donn£ d'une surface representee par liquation/ = o, on n'a pas a la fois
df df df
di=°> c^ =0 ' S =o;
toutefois cette circonstance pourra se presenter; alors le point (x, y, z) est un point singulier. En general, nous appellerons point singulier tout point d'une surface pour
lequel la coordonnde z ou Pune de ses deriv6es --> t^» •• •
cesserait d'etre finie et bien d£terminee.
Lorsque Tequation d'une surface se pr£sente sous la forme
z = v(x,y) OU
liquation (5) du plan tangent prend une forme souvent
1NFINIMENT PETITS DO I er ORDRB DANS L'eSPACE. 229
usit£e; ~ et ~ sont £gaux ^ et 7- ou t- et -r-» et -£ est
ox oy ° ox oy ox oy oz
6gal k — 1 : on a alors, au lieu de liquation (4),
011, en d£signant, conform^ment a un usage Ires r£pandu, dz dz
T x P ar P et 5; P ar ?>
II est clair que cette equation du plan tangent deviendrail
illusoire si au point (x, y, z) les quantites p = ~> q = -^
cessaient d'etre bien determines.
On passe de liquation (7) a liquation (4) en observant que la r&gle de la differentiation des fonctions implicites donne
^ dx* dz* * Oy* dz
/)/" Af Af
On voit d'ailleurs que —-> -^-> -^- ne peuvent £tre nuls a la fois qu'en un point singulier.
Le plan tangent en x,y, z est le lieu des droites qui, passant en x, y, z,p assent aussi par un point injiniment voisin de ce point.
Cette proposition presque dvidente peut se d^montrer directement, en observant que
dx dy dz
sont les Equations d'une droite passant par deux points infiniment voisins (x, y, z) et (x -+- dx, y -+- dy, z -f- dz). Si ces deux points sont sur la surface, on a
dz = pdx-h q dy;
CHAPITBE IV.
d'ou Ton conclut liquation (7) par r^limination de dx, dy y dz.
Le plan tangent est, en general, la limite d'un plan passant par trois points, injiniment voisins da point de contact, se confondant avec lui.
En effet, l'equation d'un plan passant par trois points
est
en observant que laformule de Taylor, limine aux lermes du premier ordre, donne pour les accroissements / et /' de z
on a
I =ph -h qk, V = ph' -h qk\
h k ph -+- qk
h! k' ph' -r- qk'
Multipliant la premiere colonne par/?, la seconde par q el soustrayant de la derni&re, on a
ou bien, en supprimant le facteur hH — kh l [different de z£ro si les points (0,0), (A, A"), {h r ,K) ne sontpas enligne droite],
c'est liquation du plan tangent.
Cette demonstration suppose h et k d^veloppables par la formule de Taylor; elle ne s'appliquerait done pas au point ( x ->y> z ) s * ce point £tait singulier.
1NFIXIMEXT PET1TS DU I cr ORDRE DANS L'BSPACE. 'i3 1
Le plan tangent a line surface, en un point donne M qui n'est pas singulier, coupe cette surface suivant une courbe qui prisente un point singulier en M.
En effet, si l'on prend le plan tangent pour plan des xy et le point de contact pour origine, liquation de la surface est de la forme
la quantity cp (x, y) est nulle pour x = o,y = o, les quantity p et q, c'est-a-dire ^> ^> le sont aussi ; car le plan tangent, qui a pour Equation
se r£duit a Z = o pour x = o, y = o. Geci pos6, liquation de la courbe, intersection de la surface par son plan tangent, est
Or -I-, -r- 5 - sont nuls pour x = o,y = o; done le point de
contact est un point singulier de la section.
On appelle normale a une surface la normale au plan tangent menee par le point de contact.
Ses Equations sont
ou, en supposant la surface representee par une Equation de la forme /= o,
(*-«>:£=<W>:g = CZ-*>:£.
La tangente a une courbe est une droite dont la distance a un point de la courbe infiniment voisin du point de contact est du second ordre; le plan tangent a une surface est un plan qui est a une distance du second ordre d*un point quelconque infiniment voisin du point de contact.
23a CHAPITRJS IV.
C'est ce que 1'on peut constater g£ometriquement en observant que, si M et M' sont deux points infiniment voisins d'une courbe et P le pied de la perpendiculaire men^e de M' sur la tangente en M, on aura M'P = MM'sinM'MP; or Tangle M'MP tend vers z£ro, puisque MM' a pour limite la tangente MP en M; done M'P est bien du second ordre. Reciproquement, si M'P est du second ordre par rapport a MM', il faudra que M'M P soit infiniment petit, e'est-a-dire que la s£cante MM' soit, a la limite, tangente a la courbe.
Soient maintenant M un point d'une surface, M' un point voisin de M pris sur la surface, M'P la perpendiculaire men£e de M' au plan tangent. Consid£rons une courbe passant en M et en M' et sa tangente situ£e dans le plan tangent ; la distance de M' a sa tangente est au moins egale a M'P; or, cette distance £tant du second ordre, il en sera de m6me de M'P. Reciproquement, si M'P est du second ordre, quel que soit M', le plan sera tangent a la section plane passant en M', et par suite contiendra une infinite de tangentes a la surface.
V. — Nouvelle forme de l'equation du plan tangent. — Conditions
anzqnelles on pent rassujettir.
Supposons que, dans liquation d'une surface
on remplace x,y, z par -, £, - et que Ton chasse ensuite
le d£nominateur t (si Ton peut); on obtiendra une Equation homog&ne en x 9 y, z y t , a savoir
laquelle sera identique a/(#, y } z) = o quand on supposera t=\ [si liquation f(x, y, z) = o est de forme enti&re, liquation (i), obtenue en chassant le d£nominatcur t, sera enti&re et de mgme degr£]. Nous pourrons diflferentier la fonction / par rapport a t; mais, les differentiations effec-
INFINIMENT PETITS DC l er ORDRB DANS i/BSPACB. 233
tuees, nous supposerons t=i. Ceci pos£, liquation du plan tangent a la surface (i), dans laquelle t est suppose 6gal a i, est
ou
da? c^ ds \ dx J dy dz )
Or on a identiquement, en vertu du th£or6me des fonctions
homog&nes,
df df df df
do: ^ dp ds dt rj
[a d£signant le degr6 de la fonction homog£ne /; et, comme f(x, y, z, t) = o, on tire de la, en supposant t = i,
dx J dy dz dt dt
et, par suite, (2) devient
dx dy dz dt
Cette formule est une nouvelle forme de l'equation du plan tangent, qui est souvent plus utile que la forme (2).
Problems I. — Trouver la condition pour que le plan reprisenti par
(1) ZX-f-mY -+-/iZ-4-/?T =
(ouT est suppose igal a un) soit tangent ct la surface representee par V Equation
Pour r^soudre ce probleme, on peut exprimer que le plan coupe la surface en trois points confondus, ou suivant une courbe a noeud; mais il vaut mieux identifier liquation (1)
234 GHAPITRE IV.
avec celle du plan tangent
(a) x^-Y^-hZ^T*-.
dx dy dz dt
an point (x, y, s), ce qui donne
dx dy dz at r
avec la condition
qui exprime que le point (x, r, z) est sur la surface. En eliminant x, y, z y t entre (3) et (4)j on a la condition cherch£e. Pour faire l'£limination, on £gale la suite de rapports (3) a s; on a alors
(5) -jr — sl=o, -p- — sm = o % -i sn—o* -r- — sp=o;
N ' dx ty dz dt ^
en ajoutant ces equations, multipliees par x, y, z, t y et en observant que
x dx^yiy^ z iz^ l dt-^^^
on a
(6) lx -4- my -4- nz -+-pt = o,
Equation qui peut rem placer (4). Ainsi la condition cherchee s'obtient en eliminant x, y, z, t, s entre (5) et (6).
Si, pour faire une application, nous supposons que/=o se r^duise a l'equation du second degr^
, v ( a>\\X*-±-a>iiy t -±-ai*z*-±-aut*->t-'iaiixy ->r-7,a\ixz (7)
la condition pour que le plan (1) soit tangent a cette surface s'obtiendra en eliminant x, y, z 9 t, s entre (6) et
anx -4- a^y -+- a x %z -4- a^t — Is = o,
INPINIMEXT PETITS DU I er ORDRE DANS L'ESPACE. 235
cc qui donnera pour la condition cherch^e
flu
a tt
<*>ti
«si
fltv
En g£n£ral, assujeltir un plan a £tre tangent a une surface, c'est l'assujellir a une seule condition, comrae on le voit. Gependant les equations (3) et (6) peuvent £tre telles que I'on puisse en d£duire deux relations dislincles, ind£p£ndantes de x, y 7 s, entre /, #w, /i, />. Dans ce cas, les rapports l\m\n\p peuvent s'exprimer en fonction d'un seul d'entre
eux, et les formules (3) montrent que les d£riv6es j-> \-»
df df
dx dy
d"* ~di sont te ^ es C I U ^' existe deux relations homogenes entre
clles. Nous reviendrons plus tard sur cette question; bornons-nous a faire observer, d&s a present, qu'il existe une classe parliculi&re de surfaces que l'on appelle developpables et telles qu'assujettir nn plan a leur £tre tangent, c'est Tassnjettir a deux conditions.
Probleme II. — Trouver la condition pour qu'une droite louche une surface.
On peut exprimer que la droite rencontre la surface en deux points confondus; mais, si Ton observe que la surface peut avoir des points singuliers, il vaudra mieux exprimer que la droite en question est contenue dans un plan tangent et passe par le point de contact.
Soient
/X + mY + nZ -+-/? T = o, I'X -h m'Y -+. n'Z -+-p'T = o
les Equations d'une droite ; pour exprimer qu'elle est contenue dans le plan tangent au point (x,y, z y t) a la surface representee par liquation
236 CHAPITHE IV.
il faudra exprimcr que le plan tangent
dx dy dz dt
passe par Tin tersection des plans (i),et quele point (.r,^, 5,*) est sur la droite (i). En appelant alors s et s f deux param&tres convenablement choisis, on devra avoir
j- -h si -h s' V = o,
~ -+• sn •+- s n =o,
dz
dt
-h sm -r-s m = o,
-h sp -+- s'p' = o,
Ix -+- my -+- nz -hpt = o, I'x -h m'j' -4- /i'-s -t-p't = o.
L'£limination de x, y, z, t, s, s r entre les Equations donnera la condition cherch£e.
En particulier, si /(#, y, s, t) est £gal a la fonction du second degr6 a K{ x 2 -+- . . .+ 2rt 3 a 4 3/, on aura pour la condition cherch£e
a xt
a tt
ri
rt'
