VI. — Coordonnees tetraedriques

D^signons par/?, q, r y s les distances d'un point a quatre plans fixes formant un t^tra&dre; soient x, y, z les coordonnees rectangulaires de ce point : on aura

p = xcosz -+-ycos$ -h^cosy — ro, q = x cos %' -+-y cos °' -+• z cosy' — ro', r = a? cos a* -t-y cosp* -4-*cosy* — ***, 5 = rr cos a w -4-^ cos p w 4- ^ cos y" — w w ,

cos a, cos p, cosy designant les cosinus directcurs de la nor-

INFINIMENT PETIT8 DU l er ORDRE DANS L'ESPACE. 207

male au plan/? = o et xb sa distance a Porigine, etc. En appelant a, b, c, d les aires des faces du t&rafcdre form6 des quatre plans en question, qu'on appelle titrakdre de refe-

rence, on a

ap -+- bq •+• cr -+- ds = V,

V d£signant le triple du volume du tetra£dre de reference. Des trois premieres formules (i) on peut tirer #, y, z en fonction de/?, y, r sous la forme

x = A p +B y + C r-hD,

/=A> + B'y-t-C'r + D', z — k'p -4- B'<7 -+- Cr -+- D\

Cela est Evident; toutefois, on peut prouver directement que le determinant 2(:± cosa cos (3' cosy") n'est pas nul, son carr£ pouvant s'ecrire

I 2 cos 1 1 2 cos a cos a' 2 cos a cos a*

2 cos a cos a 2 cos* a 2 cos a cos a"

2 cos a cos a* 2 cos a' cos a* 2 cos* a"

ou, en appelant X, |a, v les angles des directions a, (3, y; a', (J', f; </, p», f ,

I COSV COS [A

cosv i cosX cos(x cosX I

ou enfin

i -+- acosX cos (jl cosv — cos*X — cos 1 ji — cos* v.

Cette quantity peut sMcrire

— [(COSX — COS [X COSV) 1 -4- COS 1 [A 4- COS*V — I — COS*fACOS*v]

— [(cosX — cos [x cosv) 1 — sin 1 [x sin 1 v]

. . A -+- UL -J- V . U -U V X . X-HV — U . X-h(A V

x sm sz sm£- sin l sm

Elle ne peut Stre nulle, a moins que X + |a -+- v = 2iz ou que

238 GHAPITRB IV.

jjl + v — )> = o, . . . , ce qui n'a jamais lieu pour les faces d'un triedre proprement dit; or \ p, v sont les faces du triedre supplementaire de celui des plans/7 = o, q = o, r = o. Ceci pose, si Ton considere une Equation

elle pourra se mettre, a 1'aide des formules (3), sous la forme

/(A/7-4- Bq-\- Cr-KD, ...) = o ou, en vertu de (2), sous la forme homogene

/[A/? -+-B$r-f-Cr-4- y (ap-+-bq -i-cr-hds) y . . .] =0.

Ainsi toute surface peut £tre representee par une Equation homogene de la forme

pj q, r, 5 sont alors les coordonnees titraedriques du point (x y y, z) de cette surface, et liquation pr^cedente est celle de la surface en coordonnees tctraedriques.

Toute surface peut £tre representee par une Equation telle que (4), mais la re*ciproque n'est pas vraie; ainsi Tequation

ap — bq -+- cr -r- ds = o

ne repr^sente rien du tout, puisque son premier membre, en vertu de (2), est £gal a la constante V ; neanmoins, on convient de dire que cette equation du premier degre repr^sente le plan de Vinjini.

Ce que nous avons dit au sujet des coordonnees trilin^aires, en Gt5ometrie plane, peut nous dispenser d'entrer, au sujet de cette locution de plan de Uinjini, dans de plus amples details.