VII. — Plans tangents en coordonnees polyedriques
II arrive souvent que liquation d'une surface se presente sous la forme
INF1NIMBNT PETITS DU l cr ORDHE DANS L'eSPACE. 23o,
Pj q, r, ... d£signant les distances d'un point (x, y y z) de la surface a des plans fixes ou ses coordonn6es poly£driqucs; Tequation du plan tangent prend alors une forme remarquable et souvent utile que nous allons faire connaitre : on a
dx dp dx dq dx
Supposons que Ton ait
p = a? cos a -t-^ cos p -h^cosy — w, q =a?cos«'-H t xcosP'-+--«cosY' — w',
la formule priced en te deviendra
df df df
t- = t- cos an- -j- cosa -+-...,
ox op dq
et Ton aura deux formules analogues pour calculer j- 9 j-> Si
Ton appelle alors P, Q, . . . ce que deviennent p f q, . . . quand on y fait x = X, y = Y, z = Z, on aura
<X-*)g-HY-,)g-,(Z--,)g
= ^ [(X — x) cosa -*- ( Y —y) cos p - r - ( Z - - * ) cos 7]
-f- J^ [(X - x) cosa'-r (Y —y) cos p'-t- (Z — z) cosf] — . . .,
c'est-a-dire
v ' dx v dy y ' dz
Liquation du plan tangent prend done la forme
et, si la fonction/, ce qui est le cas ordinaire, est homogenc,
df af
4- P + 4- <J 4-. • . sera £gala/multiplie par le degr£ de l'lio-
mog£n£ite, c'est-a-dire a ze>o; liquation du plan tangent deviendra alors
op oq or
Dans le systeme de coordonn^es tetra^driques, on trouve, comme plus haut, la condition pour qu'un plan soit tangent a une surface; nous ne reprendrons pas ici des calculs deja fails.
On peut demontrer relativement aux surfaces un the*oreme analogue a celui que nous avons demontre* en G£ometrie plane et qui est du a Poinsot :
Theoreme. — Si p, q, r, ... designent les distances du point M a des surf aces fixes P, Q, R, . . . {en appelant distance d y un point a une surface la normale abaissie de ce point sur la surface), V equation
/(/>> q, r, ...) = o reprisentera, en general) une surface, et la normale au point M sera la resultante de longueurs, igales a j- > j- > • • • »
portdessur les droitesp, q, . . . dans un sens ou dans lesens oppose, suivant leur signe.
Soient, en effet, a, b, c les coordonnees du pied de la normale p sur la surface P; a', b\ d les coordonnees du pied de la normale q sur la surface Q, . . . ; on aura
(1) d l Vdp Vdq
K) dx~ dp dx^ dq dx^""
Or
p = v/(a? — a) 2 -t- (.T — by -+- (z — c)»,
(2) dp= -[(x—a)(dx — da) + (y—bXdy — db) + (2 — c)(dz--<lc)]\
mais la direction da, db, dc est celle d'un de placement
IIS'FIXIMENT PETITS DU I or ORDRE DANS l'eSPACE. 2^1
effectu£ sur la surface P: tandis que > — > — ~— sont
les cosinus directeurs de la normale/?, que nous appellerons cosa, cos 3, cosy; on a done
da -+- * do •+■ — dc — o,
el (2) devient
dp = - [(x — a) dx -\- (y — b)dy -+-(z — c)dz] P = coszdx-t- cosfidy -4- cosvek;
d'ou Ton tire
dp dp a dp
-;- = cosa, -j- = cos;i, -,- = cosy.
dx "y dz '
La formule (i) devient alors
df df df
-j- = -:- cos d-h -f- cos a -+-..., ox op oq
a, a', a", . . . designant les angles que font/?, 7, /*, ... avec Taxe des x. On voit que la longueur
porl£e sur la normale a /= o, et qui a pour projection sur l'axe des x, :-, est la r£sultante de f- >/->•• • port^es sur les
7 ox op oq r
droites p, q, . . . , car ce que l'on a dit de l'axe des x peul se dire pour l'axe des j' et l'axe des z. c. q. f. n.
Application. — Trouver le plus court chemin d'ttn point a un autre en touchant une surface donnde.
Prenons des coordonn£es tripolaires. Le premier pole sera au point de depart, le second au point d'arriv£e et le troisi&me sera quelconque; liquation de la surface sera
2^2 CHAIMTRE IV.
Ce qu'il faut rendre minimum, c'est/?-f- q\ on posera done
dp -+- dq = o,
df , df . df ,
-;- dp -4- -'- dq ■+- 3- dr = o.
op * dq * or
La methode des mulliplicateurs donnera
df df df
dp dq dr '
or, si Ton veut mener la normale a la surface au point ou le chemin cherche' la rencontre, il faudra porter sur les rayons /?, q des longueurs £gales, sur le rayon r une longueur nulle et composer ces longueurs. Cela prouve que la normale a la surface partage Tangle du chemin cherche en deu\ parties £gales et que le chemin en question est silue dans un plan normal passant par le point de depart et le point d'arrivee.
Le chemin cherche serait done precis^ment la route que suivrait le rayon lumineux refl6chi par la surface, et qui, cmane du point de depart, aboutirait au point d'arrivee.
VIII — Surfaces podaires, surfaces paralleles.
Soient O un point fixe, S une surface fixe ; le lieu des pieds des perpendiculaires abaiss£es du point O sur les plans tangents a la surface S est ce que l'on appelle la surface podaire de la surface S par rapport au point O.
Soient P leplan tangent a la surface S en M, etnle pied de la perpendiculaire abaissee de O surV\ il est facile de voir que la normale en tz a la podaire passe par le milieu de OM.
Soient, en effet, a, (3, y les coordonnecs de M ; x, y 7 z celles de 71; on aura
(0 pi* — *)+-q(y— ?) = * — 7,
1NFIMMEXT PETITS DU l er ORDRE DANS L'ESPACK. 243
formule ou l'on a pose\ pour abreger,/? = ^,y=^; on aura aussi
ft * a "*
Calculons -^ , -"• A cet eflTet. ecrivons (2) ainsi
Ox dy ' x '
O) T-\-pz— O, J-r(/J = 0,
et diflerentions (1) el (3); nous aurons
dp(r — i)-\-dq ( v — ,3 ) ~\-p{dx — dz)-\- q(dy — d} ) = dz — ttfy,
*/.r —- pdz -+- zdp — o, dy -7- 7 <i~ -f--rfy = o;
reraplac,ons d'abord rfy par/?rfa-»- <7rfJ3, nous aurons
dp(.r — ol)-\- dq(y — [3)-t-/?cf.r -*-£</>' = <fo.
Mulliplions par z et eMiminons r//?, rfy ; nous aurons
<Y.r -+- pdz)(x — «)-i- <</>'-+- qdz)(y — p) = [pdr -\- q dy — dz ,z;
done
</ 5 = \p3'-(r — «)1 </r -f- f 73 — (v — 3 )] dy
ou, en vertu de (1) et (3),
( it — a )dr -h(?.r — 3 ) dy
dz = - On a done
dx{ix — z)-*-dy(-2y— $)-±- dy{-xz — *{)= o,
ce qui prouve que le deplacement dx, dy, dz effectue sur la surface podaire ou le plan tangent a la surface podairc
est perpendiculaire a la direction x > y — j-> z — S qui
joint le point (x } y, z) au point (*> -> -) milieu de 0*W.
244 CnAPITRE IV.
Soit M un point quelconque d'une surface S, soit MN la normale en M; si Ton prend MN= const., le lieu des points N sera une surface 2, a laquelle on donne le nom de surface par allele a S.
Les points M et N sont ce que Ton appelle des points correspondants.
Theoreme. — Les plans tangents en deux points correspondants de deux surfaces paralleles sont paralldles.
En effet, soient x, y, z les coordonn^es du point M appartenant a la surface S ; soient x' , y\ z l les coordonn^es du point correspondanl N sur la surface parallele, / la longueur de la droite constante qui a pour extr£mit£s M et N; on a
a, {3, y d^signant les cosinus directeurs de la normale a la surface S; on en deduit
dx' = dx -+- Id*, dy' = dy -+- ld$, dz' = dz-h /cfy.
Multipliant la premiere equation par a, la deuxiemc par j3, la troisieme par y? ajoutant et observant que Ton a
el par suite, en differential,
a<ia -h $d$ -+- ^d^ = o, on trouvera
<xdx'-\- $dy-±-«(dz'= zdx-h $dy -hydz.
Or la direction dx, dy, dz situ6e dans le plan tangent a S est perpendiculaire a a, p, y; done zdx -+- fidy -\-ydz est nul; par suite v.dx'-r- $dy'-{-ydz f est nul aussi; done la direction dx\ df ', dz\ situee dans le plan tangent a la surface parallele, est normale a a, j3, y; done enfin ce plan tangent est parallele a celui de S. c. q. f. d.
INFINIMENT PETITS DU I er ORDRE DANS l'eSPACE. 2^5
IX. — De la transformation par rayons vecteurs reciprocities.
En Geomelrie dans Tespace, comme en GeomcHrie plane, deux figures sont transformers Tune de l'autre par rayons vecteurs reciproques, quand au point M de Tune des figures correspond un point M' de Tautre, tel que la droite MM' passe par un point fixe O, et tel que Ton ait
