OM.OM
k est le module de la transformation, le point O est le pdle. Soient x, y, z les coordonndes rectangulaires du point M; x, y', z' celles du point M'; on a, en posant
OM = r, OM'=r',
et en supposant les trois axes de coordonn^es passant en O,
x y z __ r rr* k 1 x' = y " z' ~ r' = r~* = 7*'
d'ou l'on tire
At
et
telles sont les formules de transformation.
Si Ton porte ces valeurs dans ^equation
ax -+- by -+- cz -+- d = o, on trouve
ax'-hb/-i-cz'-\- Tj (x'*-+-y ,t -h2' 1 ) = o;
246 GHAPITRK 1Y.
la transformee d'un plan est done une sphere passant par le pdle.
Si Ton fait la m£me substitution dans
ax -h by f- cz - r - d -f- ( x* -f- y 1 -f- z* ) = o,
on trouve
~r t (ax -+- by' -T- c z ) -±- d -r- y k (a;' 1 +/ ! -i-j' 1 ) = o
on
k* (ax'-r- by' +«') + rfr* -r- A 1 = o,
ce qui est encore l'oqualion d'une sphere. Ainsi : la transformee d'une sphere est une autre sph&re, excepte dans le cas ou cette sphere passe par le pole; sa transformee est alors un plan.
II resulte de la que la transformee d'une droite est un cercle et que la transformee d'un cercle est un cercle ou une droite.
Voici u n curieux theoreme que nous mentionnons a cause de ses applications :
Th£oreme. — Deux courbes ou deux surfaces quelconques se coupent sous le meme angle que leurs transfer mees par rayons vecteurs reciproques.
On appelle angle de deux courbes en un point commun Tangle dc leurs tangentes (ou de leurs cordes infinimenl petiles) en ce point; on appelle angle de deux surfaces, en un point commun a ces deux surfaces, Tangle de leurs plans tangents en ce point.
Pour demon trer la proposition 6nonc£e, il suffira done de d^montrer que, si Ton considere trois points infiniment voisins et leurs correspondants, les deux triangles formes par ces points sont semblables, car alors leurs cdtes se couperont sous les monies angles.
Soient deux cdt^s correspondants MN = s et M'IV==s / ; soient OM = /•, OM'= r'; les deux triangles OMN et O'M'N'
1NFINIMENT PETITS DU l ep ORDRE DANS L'eSPACE. a47
sont £videmment semblables, puisque les quatre points M, N, M', N' sont sur la m6me circonference, a cause de l'^galite
OM x OM' = ON x OK' = k* ; on a done
i J ~~ /•' ou, en appelant G le rapport — , > s = Gs f : les droitcs s et s'
correspondantes sont done proportionnelles ; deux triangles formes par de petites droites, telles que nous venons de les considerer, seront semblables. c. q. f. d.
Ce th^oreme peut etre utilis6 pour simplifier la recherche de quelques plans tangents; on peut le demontrer par l'analyse.
En eflet, supposons que le point (x, j', z) decrive un Element ds ; le point {x',y', z') decrira un elemen t els', et Ton aura
ds'* = dx'* -f- dv'*- -4- dz'*
-*[(< w ZH'm
= -^ [yr*dx — ixrdr)*-\-{r*dy — 7.y rdr )*-+-( r*dr — izrdrf-\ = - [r % ds* — 4r*dr(xdx -^ydy -+- zdz)-\- \r*dr*] = -r r v ds* = —r ds* ;
ds est done proportionnel a ds; un triangle infinitesimal de la figure jc, y, z aura done pour transformee un autre triangle semblable et par suite ce triangle transform^ aura les m6mes angles que le triangle primilif; done deux elements de courbe se coupent suivant le mSme angle que leurs transformdes.
