X. — Projection stereographique
Gonsid£rons une sphere, un grand cercle et le p61e O de ce grand cercle. Joignons le point O a un point M quel-
conque de la sphere : la droite OM rencontrera le plan du grand cercle en un point m qui sera, pour un ocil place en O, la perspective du point M sur le plan du grand cercle consider^ comme tableau. On dit que m est la projection st£r£ographique du point M.
La projection stdr^ographique d'une figure trace" e sur la sphere est le lieu des projections de ses divers points. Les cartes g£ographiques sont souvent les projections ste>eographiques des pays qu'elles repr^sentent. Toutes les proprietes des projections ster^ographiques decoulent du th£oreme suivant :
Theoiieme. — La projection stereo graphique d'une
figure tracee sur la sphere est la transformee par rayons
vecteurs reciproques de cette figure, le pdle etant le pdle
du grand cercle sur lequel on fait la projection; le mo-
dule de la transformation est le rayon de la sphere.
Nous laissons au lecteur le soin de faire la demonstration; mais nous en conclurons que les projections stenSographiques des cercles de la sphere sont des cercles qui se coupent sous le m&me angle que les cercles dont ils sont les projections. Ces proprietes peuvent servir au trace" des me>idiens et des paralleles des cartes g£ographiques.
XL — Theoreme de T. Villarceau et ses consequences.
Le tore est la surface engendr£e par la revolution d'un cercle autour d'un axe situe* dans son plan; Villarceau a remarque le premier que tout plan bitangent coupe le tore suivant deux cercles.
Soit C = o, liquation d'un cercle situe" dans le plan des zx ; la surface engendree par la revolution de ce cercle autour de Paxe des z sera
1NF1NIMENT PETITS DU I er ORDRE DANS L'ESPACE. 2^9
C| d£signant ce que devient C quand on y change x en yJx--\-j' 2 \ done :
L'equation du tore est du quatriime degre
et, plus g£n£ralement,
Si Von fait tourner une conique autour d y un axe situ£ dans son plan, elle engendrera une surface du quatrieme degre.
Le tore a evidemment pour ligne double le cercle imaginaire a 1'inGni, car son m£ridien, se composant de deux cercles, passe deux fois par les ombilics de son plan ; un plan bitangent coupera done le tore suivant une courbe du quatrieme degre ay ant quatre points doubles, a savoir : i° les deux ombilics; 2° les deux points de contact, Intersection devra done se dedoubler en coniques passant paries ombilics, e'esta-dire en deux cercles.
Transformons maintenant le tore par rayons vecteurs r£ciproques en placant le p6le sur l'axe de revolution ; sa transform^ sera encore une surface de revolution, dont le m£ridien sera un cercle; en d'autres termes, la transform^ sera encore un tore. Concevons maintenant que Ton mene au tore primitif une sphere bitangente ; on pourra toujours choisir le p6le de mani&re que, dans la figure transform£e, la sphere soit remplac£e par un plan bitangent qui coupera le tore suivant deux cercles : ces cercles serontles transformees des seclions du tore par la sphere. On a done ce thdoreme qui derive de celui de Villarceau :
Un tore est coupi par une sphere bitangente suivant un sy steme de deux cercles.
Quoique cela sorte un peu de notre sujet, nous ferons remarquer que la surface de revolution qui a pour meridien une conique est coupee par un plan bitangent suivant deux coniques. En effet, le plan bitangent coupe cette surface sui-
2J0 CUA1MTRE IV.
vant une courbe du quatrieme degr£ possedant quatre points doubles, a savoir : i c les deux points de contact; a° les points ou ce plan coupe le cercle double engendre par les points conimunsaux deux coniques m£ridiennes.
La metliode de la transformation par rayons vecteurs reciproques appliquee a ce nouveau theoreme fournirait des th£or&mes sur les courbes du troisieme et du quatrieme ordre qui passent par les ombilics; mais nous ne nous y arreterons pas.
