XII. — Des surfaces coniques
On appelle, comme on sail, surface conique ou cone une surface engendree par le mouvement d'une droite, appeloe generatrice, qui passe constamment parun point fixe appele sommet.
Rappelons en quelques mots comment on trouve l'equalion des surfaces coniques. Appelons a, b, c les coordonnees du sommet d'une surface conique; les Equations d'une generatrice seront de la forme
le mouvement dc cette generatrice sera regie d&s que Ton se donnera une relation entre les rapports 7 et -
ou une relation homogene
entre a, [3, y. L'elimination de a, [3, y entre (1) et (2) ou entre (1) et (3) donnera Tequation de la surface conique, a savoir
[x — ay — h\
1NFIMMKNT l'KTITS DU l cr ORDRK DAKS l'ESPACE. 2JI OU
'f designant dans cette dernidre formule une fonction homog£ne de x — a, y — 6, z — c.
Gen^ralement, ]e mouvement de la g^neratrice estregl£ en l'asstijctlissant a rencontrer sans cesse une courbe appelee direct rice. Si
tr
sont les equations de cette direclrice, Tequation (2) est la resultanle provenant de l^limination de x, y, z entre (i)
et (:>).
Remarque. — Liquation du cone est done une equation homogene entre x — a, y — ft, z — c. Liquation du c6ne qui a son sommet a Porigine est une Equation homogene en x,r, z. Reciproquement :
Toute equation homog&ne en X, Y, Z, ces trois quantities designant des fonctions lineaires des coordonnees x iJ'i z, represente un cdne, dont le sommet s'obtient en resolvant les Equations X = o, Y = o, Z = o.
En eflet, une telle Equation
o(X, Y, Z. = o est la resultante des equations
les dernieres representent une droite passant par le point fixe X = o, Y = o, Z = o; relimination de a, (3, y fera connaitre le lieu 'f (X, Y, Z) de cette droite, qui evidemment sera un cone.
Rappelons en fin que, pour obtenir liquation du c6ne ayant son sommet a Torigine et pour direclrice une courbe donn£e,
252 GHAP1TRE IV.
il suffit de rendre homogenes les 6quations de la courbe et d^liminer entre ces Equations la variable introduile pour rendre les formules homogenes.
Theoreme I.. — Tout plan tangent au cdne passe par le sommet; et, reciproquement, toute surface dont le plan tangent passe par un point fixe est un cdne ayant pour sommet le point fixe en question.
En eflet, soil
liquation d'une surface conique ayant son sommet en a, 6, c; quanddeuxfonctions — -■ , •-- dependent Fune de Tan tre,
leur determinant (t. I, p. if>-)
est nul; on doit done avoir, en posant -r- =p, y, = q,
z — c r ( Z - C) 2 r ( z -- cf
I ~~ q ^z—~cj i 5~— "c ~" q Hs — TT 2 !
on bien
Cctte equation exprime bien que le plan tangent en x, y t z, qui a pour equation
passe en a, 6, c. Reciproquement, si le plan tangent au point (x, y, z) d'une surface passe par le point a, 6, c, entre x, v et z de cette surface, on aura la relation (3) qui peut
1NFINIMENT PETITS DU I cr ORDRE DANS l'eSPACE. 253
se metlre sous la forme (2), laquelle exprime que le determinant de et de — est nul, c'est-a-dire qu'il existe entre
ces fonctions une relation telle que (2); en d'autres termes, la surface en question est un c6ne ayant son sonimet en a, 6, c.
Liquation (3) est importante, elle caract^rise les surfaces coniques, comme on vient de le voir, et porte le nom d : 'equation aux derivees partielles des surfaces coniques. Si Ton suppose l'equation d'une surface conique mise sous la forme
on en deduit
p = tl ■ V, a = - d f-'V ^ Ox ' dz 9 * dy ' dz
et la formule (3) peut s'ecrire
cetle formule exprime aussi bien que (3) que le plan tangent passe par le point fixe (a, b 7 <?); mais il faut supposer/=r <>.
Theoreme II. — Le plan tangent au cdne est le ni'me tout le long d'une ge*neratrice.
En eflet, soif
.fx — a y — b\
l'equation d'un cone ; differentions successivement cette equation par rapport a x et y\ en faisant toujours
dz
dz dy~ q
et
dh- P%
nous aurons
df r 1 x — a "j df y — b __
di lz~^c~~ P (z — c;*J ~ d$ P (z — c)» ~"°'
On voit que p est fonction dc — — et de ; il en est 6vi-
demment de mime de q\ enfin, en vertu de l'equation
il en est de mime de z — px — qy\ le plan tangent
Z — z— y>(X — r) — gr(Y — v) = o
a done ses trois coefficients, /?, y, £ — />.r — yr fonctions de et de - > quantilis qui sont les mimes tout le
long d'une ge'niratrice; done le plan tangent reste le mime tout le long d'une gineratrice.
Theoheme III. — Le somrnet d'un cone est un point singulier.
Considi'rons en effet Tequation d'un cone sous la forme
Si Ton suppose la surface algebriquc, celle Equation sera une somme de termes de mime degre et de la forme
A (x — a )» ( r — b ft ( z — c ft ; il est bien clair alors que, pour x = a, r = b y z = c, on aura
df df df
Ox oy oz
Si la surface n'est pas algebrique, on mettra le fait en evidence en observant qu'en vertu du theoreme II le plan tangent doit etre in determine.
Puobleme. — Reconnattre si une surface donnce par son equation est conique.
Si la surface est donnde par une equation toute resolue par rapport a 5, pour qu'elle soit conique, il faut que z,pei q tires de liquation de la surface rendent Inequation
1NFIN1MENT PETITS DU l cr 0RDKE DANS i/ESPACE. 255
idenlique en x et^' pour des valeurs de a, 6, c (p. 262). Si la surface est donn£e par une equation de la forme
(l) fiX^fy z)==o,
la condition necessaire et suffisanle pour qu'elle soit conique est que Ton ait
' Ox v J Oy " Oz '
pour les valeurs de z tirees de (1) en fonction de x etj*, quels que soient x et y, pour des valeurs convenablement choisies de #, 6, c.
Pour exprimer que la surface representee par ( 1 ) est conique, il faudra done eliminer z entre (1) et (2) et exprimer que la r£sultante est identique.
Si Tequation (1) est de forme cnttere, on pourra simplifier les calculs en observant que, si elle repr6sente un cone, les coordonnees du sommct devront satisfaire aux equations
o N df *r *r ,
' Ox ' Oy Oz ' J
(Si ces equations ne peuvent 6tre satisfaites a la fois, la surface f= o ne peut etre un c6ne.) Soit a, b, c une solution ; en transportant l'origine en a, b, c, Fequation devra devenir homogene en #, v r, z.
C'est au fond la marche que Ton suit dans la lh£orie des surfaces du second ordre quand on veut exprimer que Inequation du second dcgnS represente un c6ne, et Ton prouve que, si pour une surface du second ordre les equations (3) ont lieu, la surface est un cone.
