XIII. — Surfaces cylindriques
On sait que Ton appelle cylindres ou surfaces cylindriques les surfaces engendr^es par une droite ou giniratrice qui se mcut dans Pespace, parallelement a elle-m£me.
Soienl
1 x = az -4- a,
les equations de la generatrice d'un cylindre ; celte generatrice restant parallele a une direction fixe, a et b reslent constants, a et p seuls varient et le mouvement de la generatrice sera r^gle* en se donnant une relation
entre a et j3. La resultante provenant de 1'elimination de a et j3 entre (i) et (2) donnera l'equation de la surface; cctte resultante est
(3) <p(ar — az, y — bz) = o.
Ordinairement la generatrice est assujettie a rencontrer une courbe appelee directrice ; soient
ses equations. En eliminanta:,^, centre (1) et (4), on obtient Inequation (2) qui exprime que la droite (1) se meut en rencontrantla courbe (4).
L'equation (3) des cylindres est, comme l'on voit, une relation entre deux fonctions lin£aires de x,y 7 £. Reciproquenient, on sait que toute relation entre deux fonctions lin^aires repr^sente un cylindre : e'est ce que l'on peut voir soit par une transformation de coordonnees, soit en observant qu'une
relation telle que
est la resultante des equations
et qu'elle represente le lieu des lignes X = a, Y — [3; et que si X et Y sont des fonctions lin£aires, X = a, Y = [3 repr£sentent des droites qui restent paralleles a la droite X = o, Y = o.
INFIXIXENT PETITS DU I er 0RDRE DANS L'£SPACE. 2$J
Theoreme 1. — Tout plan tangent au cylindre contient la generatrice du point de contact et par suite reste parallele a une droite de direction fixe.
En effet, soit
(i) v(x — az,y—bz) = o
Tequation d'un cylindre. Cette equation etahlissant une relationenlre lesfonctions.r — as, y — bz, on aura (p. 167 , 1. 1)
, . (){.r — az.y — bz) ( 2 ) -L : = o
' OK**y)
ou, en appelant/? et q les derivees y-y -.-> •
1 — op — bp — aq 1 — bq
OU
( \ ) i — ap — bq = o.
Cette equation exprime bien que la direction de la normale p, q, — 1 est perpendiculaire a la direction constante a, b, 1, ou, si Ton veut, que le plan tangent est paralleled cette direction, qui est celle de la generatrice du point de contact. II contient done cette generatrice tout entiere, puisqu'il en contient un point. Re'ciproquemcnt :
Theorems II. — Si le plan tangent a une surface resle parallele a une droite fixe, cette surface est cylindrique.
En effel, soient a, 6, 1 des quantites proportionnelles aux cosinus directeurs de la droite a laquelle le plan tangent reste parallele; on aura entre les coefficients directeurs /?, q, — 1 du plan tangent la relation (4), qui peut se mettre sous la forme (3) ou (2), laquelle exprime qu'il cxiste entre x — az et y — bz une relation telle que (1) et par suite que la sur face est cjlindrique.
L'equation (4) est caracterislique des surfaces cjlindriques; L. — Tratie a' Analyse, II. 17
