XIV. — Cones et cylindres circonscrits
Deux surfaces sont dites circonscriies Tune a Tautre suivant une courbe commune C, dite courbe de contact, quaod, en tons les points de cette courbe C, clles ont meme plan tangent.
Probleme I. — Par un point donne mener un plan tangent a la surface representee par V equation
Ce probleme est, eng£n£ral, ind£termine; car la condition d'etre tangent k une surface est simple (p. 233); ainsi il y
INFINIMENT PETITS DO I cr ORDRE DANS L'eSPACK. 2$$
aura une infinite de plans satisfaisant & la question. Soient lou jours
dz dz
et
^ Ox dy
liquation d'un plan tangent a la surface consid^ree; exprimons que ce plan passe par le point ayant pour coordonnees a, 6, c Nous aurons
cette Equation, jointe a celle de la surface, fera connaitre Vxj Vy et le z du point de contact; ce point est ind(kermin£ de position, et tous les points de la courbe representee par les Equations (i) ct(2) sont des points de contact £galement possibles.
Par suite, les Equations (i)et (a) sont les equations de la courbe de contact du cdne circonscrit a la surface representee par V Equation f '= o, ayant son sommet au point a, 6, c.
En effet, liquation (2) exprime que le plan tangent a la surface en x, y, z passe par a, 6, c; il est done le m£me que celui d'une surface conique dont le sommet est*en a, 6, c et dont la directrice est le lieu des points x y y, z repr£sent£ par les equations (1) et(2). En d'autres termes, lecdne qui a pour sommet le point a, 6, c et pour directrice la courbe (1), (2) est circonscrit a la surface. c. q. f. d.
On peut 6videmment remplacer liquation (2) par
ou, en employant des coordonnees homog&nes, par
df , df df df
«7 +*7-+Cf +1 17=0, Ox Oy Oz Ot
ou l'on suppose t = 1 , t = 1 .
L'equation (2) n^tant autre chose que l'equation aux deriv6es parti elles des surfaces coniques, on voit que :
V equation aux derivees partielles des surfaces coniques, dans laquelle on remplace p et qpar lep et le q d' une sur-
face quelconque, reprisente la courbe de contact d'un cone circonscrit a cette surface dont le sommet est le point a, b, c.
Supposons la surface/= o algebrique et de degrc m, l'equalion (2) est alors algebrique et de degr£ m — 1 ; on peut done dire que :
Si d'un point donne comme sommet on circonscrit un cone a une surface algebrique de degre m, la courbe de contact sera sur une surface d'ordre m — 1 .
Cette surface d'ordre m — 1 est ce que Ton appelle la polaire du point a, b } c par rapport a la surface (1).
La theorie des surfaces polaires d'une surface donnee, par rapport a un point, est tout a fait analogue a celle que nous avons jdeveloppee a propos des courbes polaires en Geometric plane; nous nc dcvelopperons pas cette theorie.
Probleme II. — Trouver V equation du cone circonscrit a une surface donnee par son equation
et ay ant pour sommet le point de coc rdonntes a, b, c.
Nous venons de voir comment on pouvait trouver les Equations de la courbe suivanl laquelle le c6ne louche la surface, et par suite comment on pouvait trouver une directrice du c6ne; rien n'est plus facile alors que de trouver l'equation du c6ne lui-meme.
Aulrement, par le sommet a, 6, c faisons passer la dioite
INFINIMENT PETITS DU I pr ORDRE DANS L'ESPACE. 26l
Les generatrices du cdne sont tangentes a la surface f=o\ car, contenues dans le plan tangent commun aux deux surfaces, elles sont tangentes a l'une et a I'autre. Exprimons que* la droite (i) rencontre la surface en deux points confondus; pour cela, formons l'equation en p
/(a -hat?, &-*-??, ch-y?) = o.
Exprimons qu'ellea deux racines £gales, en eliminant p entrc cette equation et sa derived
df Q df df
nous aurons une equation de la forme
En eliminant a, ^, y cnlre (i)et(2), on aura le lieu cherche, e'est-a-dire le c6ne circonscrit : nous verrons plus loin une autre m£thodepour re*soudre la meme question.
Appliquons ces considerations a la surface representee
par liquation /= ^ciijXiXj ; = o (011 Ton pose, pour abr£-
ger, X\ = x, Xi~ v, x$ = 5, x s = t = 1), on a
f(a -f- ao, •■•)=? ! ? + ?( J ^ + ? ^ -r- T ^{) -+-/(«» *> O = °>
cp designant les termes du second degre" dans /(a, [3, y). L'equation d^rivee en p n'a pas besoin d'etre formde, et, pour que liquation precedente ait des racines egales, il faut que
Cette Equation etant homogene en a, [3, y, on elimine facileraent ces quantit£s, et Ton a
OU
Cette methode fournit souvent des solutions elrang&res.
Probleme III. — Mener a une surface un plan tangent parallele a une droite donnee.
En raisonnant comme tout a Pheure, on verra que
ap -t- bq =1
ou
Of Of . Of a - ■+- b - — h - - = o Ox Oy Oz
est la courbe de contact du cylindre circonscrit dont les generatrices sont paralleles a la direction a, 6, 1 et que tous les points de cette courbe sont des points de contact admissibles. Liquation du cylindre circonscrit peut s'obtenir soit en partant de la connaissance de la courbe de contact, soit en exprimant que la droite
x = az -\-p, y = bz ■+- q
rencontre la surface en deux points confondus et en cherchantle lieu de cette droite.
Probleme IV. — Mener par une droite donnee un plan tangent a une surface donnee.
Liquation de la surface £tant/=o, celle d'un plan tangent est
Ox Oy Oz Ot
si #o> yoj *o> *o et X\ 1 y\ ? *\ j l\ sont les coordonn£es de deux points appartenant a la droite, on aura
Ox J Oy w Oz Ot '
Of Of Of Of
Ox Oy Oz Ot
INFINIMENT PETITS DU l er ORDRE DANS l'ESPACE. 263
ces deux Equations, jointes a celles de la surface, d^termineront les points de contact. lis sont au nombre de m(m — i) a si la surface est alg£brique de degre m, et se trouvent sur rintersection des courbes de contact des c6nes circonscrits avant Jeurs sommets en #o>.?'o* ^o et x t9 Y t , z x .
On appelle classe d'une surface le nombre de plans tangents qu'on peut lui mener par une droite; si la surface est d'ordre m, on voit que sa classe sera au plus m(m — i) 2 .
Nous verrons plus loin qu'il existe des surfaces auxquelles on ne peut pas mener de plans tangents par une droite donnee ; niais ces surfaces sont les developpables dont il a deja £te question, et leur classe se determine par d'autres considerations.
Si la droite £tait donnee par deux plans, qui la contiennent,
flX-t- b Y -f- cZ -4- (IT = o, a'X -\- b'Y -*- c'Z -4- cTT = o,
on aura it les equations suivantes pour determiner les points de contact :
et
ox oy Ot
Ox Oy dz
Probleme V. — Par un point donne, mener une normale a une surface donnee.
Soient
'0 Mv,--) = o
l'equation de la surface, |£ =/,, # =/, et ^ =/„ a, £, y les coordonn^es du point donne. Les equations de la normale
sont
X— jr Y--7
exprimons que cettc normale passe par le point a, (3, y; nous aurons
264 CIIAPITRE IV.
Ces Equations, join tes a (1), dEtermineront le pied x, v, sdela normale sur la surface ; les Equations ( 1 ) et ( 2 ) son t de degre m en x, r, z : elles fourniront done m z solutions; mais, parmi ces solutions, il y en a m{m — 1) Etrangeres a la question, ainsi que Ta remarque* O. Terquem [Journal de Liomille, i re serie, t. IV).
Supposons, en effet, le point (a, ft, y) al'origine; les Equations (2) se reduiront a
mais (1) peut s'Ecrire
et les equations (3), (4) sont satisfaites en posant
Les solulioris de ces equations, au nombre de m(m — 1), sont Evidemment Etrangeres a la question, et par suite :
Par un point donni on ne peut mener que m 3 — m 2 -f- m nor males a une surface de degre /??.
