XVI. — Surfaces de revolution
On sait qu'une surface de revolution est engendr^c parune courbe qui tourne autour d'un axe de maniere que tous ses points decrivent des cercles ayant leurs centres sur l'axe et leurs plans perpendiculaires a l'axe, que Ton appelle Yaxe de la surface. Ces cercles sont appel6s les paralleles de la surface.
L'equation d'une surface de revolution s'obtient en expriraant qu'il y a la m£me relation entre la distance r d'un point a l'axe et la distance p de ce m£me point a un plan perpendiculaire a l'axe, qu'entre la distance d'un point de la courbe genera trice a cet axe et le plan en question.
Si, par exemple, on se donne le meridien de la surface, e'est-a-dire la courbe suivant laquelle un plan passant par l'axe coupe la surface au moyen de son Equation
(0 ?(Et*)) = o,
l'axe de revolution etant pris pour axe des r n on observe que,
si
7— To
sont les equations de l'axe et (jc ,y , z {) ) le point qui etait 1'origine des coordonnees pour 1'equation (i) du meridien, on aura, en appelant x, j*, z les coordonnees d\in point de la surface,
v^-h.r— J»'u) v —iz — zo)'/.
V^X* -J- |JL* -J- V*
!JL a
liquation de la surface sera done
SA(r-r ) )__
Je n'insiste pas sur la maniere dont on peut obtenir 1'equation des surfaces de revolution, ce sujet etant traite dans les ouvrages elementaires; je ferai seulement observer que, si R est le premier membre de liquation d'une sphere etP le premier membre de 1'equation d'un plan,
sera 1'equation d'une surface de revolution ; car, quand on suppose R constant, P est constant; les equations
R = const., P = const.
determinent une serie de cercles paralleles ayant leurs centres sur la droite que Ton obtient en abaissant du centre de la sphere une perpendiculaire sur P = o. Cette perpendiculaire, dont il est facile d'avoir l'equatiota, est l'axe; on en deduira facilement le meridien.
ou
JNFINIMENT PKTITS DU l cr ORDRE DANS l'eSPACK. 267
est Fequation (Tune surface de revolution autour de l'axe des z, le meridien a pour Equation z = 'i(.r).
Considerons la surface de revolution representee par
z=f(x* -+-/*), on a
dx = ^' {xt "^ r ^ x > dy = *-/" (a?t +}'*»">
I'equation du plan tangent est
celles de la normale sont
1'une de ces equations, celle de la projection de la normale sur le plan des xy, peut s'ecrire
(X — *)y — (Y — v)jt = o
Oil
Xj^ — Y*r = o.
La projection de la normale sur le plan des xy passe d one par Torigine; on en conclut que :
Dans toute surface de revolution, la normale rencontre Vaxe; r£ciproquement : si la normale a une surface rencontre constamment une droite fixe, cette surface est de revolution.
Prenons la droite fixe pour axe des z\ les equations de la
normale sont
oz oz
dx 6y
pour exprimer que la normale rencontre l'axe des s, il sufilt d'exprimer que la projection sur le plan des xy
,^r As ,-, v dz
passe par Torigine, ce qui donne
dz dz
dy J dx
cette equation peut s'ecrire
elle exprime done (p. 168, 1. 1) que z est fonclion de x- 4- j 2 el par suite que la surface est de revolution. c. q. f. n.
