XVII. — Conoides

Un conoi'de est, comrae Ton sait, la surface engendree par une droite appelee generatrice qui s'appuie sur line droile fixe appelee axe, en rcstant parallele a un plan fixe appele direcleur.

Dans le conoVde, la distance P d'un point M au plan directeur est une fonclion de Tangle que la generatrice passant en M fait avec une droite fixe parallele au plan directeur; en appelant alors U et V les distances du point M & deux plans

passant parl'axe, on a P = cp ( y)« Quandon prendl'axe pour

axe des z et le plan directeur pour plan des xy, celte Equation devient

z £tant fonction homog&ne et de degre odea: et^', on a 6videmment

. . dz ()z

Ox J dy

Si le conoi'de est droit, e'est-a-dire si l'axe est perpendiculaire au plan directeur, cette equation exprime que la normale est perpendiculaire au rayon vecteur projete sur le plan des xy } comme elle Test a la directrice ; sa construction de-

INF1NIMENT PETITS DU l cr ORDKE DANS l'eSPACE. 269

vient facile. L*equation (2), lorsque z est Tordonnee d'une surface quelconque, est liquation de la courbe de contact d'un conoide droit circonscrit a cette surface, dont le plan directeur serait le plan des xy. Cette Equation exprime en

eflet que le ~ et le -7 - de la surface sont les m&mes que ceux

du conoide qui aurait la seYie des points communs x, y } z avec la surface.

Si le z d'une surface satisfait identiquement a la relation (1), cette surface estun conoide. Bien que cette proposition nc nous soit pas tres utile, nous indiquerons la marche a suivre pour la d^montrer. On changcra de variable et a la place de

y on prendra — ; l'equation (2) deviendra alors

ce qui prouve que z considere comnie fonclion de x et —

ne conlient pas x\ done z doit pouvoir s'exprimer au moyen

de — seul; done, etc.

D'ailleurs Inequation (2) exprime que z est fonction homogene et de degre o de x et y (voir l. I, p. 222).