XVIII. — Des surfaces enveloppes
Considerons une surface dont liquation renferme un parametre variable a et, par consequent, variable elle-m&me de forme et de position. Soit
son Equation : pour une valeur d6terinin£e de a, cette equation repr£sente une surface bien de'terminee; mais, a variant, on obtient une s.'rie de surfaces formant une famille.
Maintenant supposons quVyant attribuc* a a une valeur
dEterminee, on lui fasse subir un accroissement rfa, on aura la nouvelle surface
elle coupera la premiere suivant une courbe qui pour dz. = o prendra une forme limite appelee caracteristique. Les Equations d'une caracteristique sont (1) et (2) ou (1) et
(3) -:- ctx = o ou =0.
Ox Ox
Si entre (1) et (3) on Elimine a, on aura le lieu des crfracteristiques ou Yenveloppe de la surface (1). L'envcloppe petit aussi etre representee par les Equations simultanEes (1) et (3), a la condition d'y regarder a comme fonction de x, j' 9 z, dEduite de Tune de ces deux formules.
Considerons maintenant une caracteristique voisine de la premiere : ses equations seront
f(x -T-«fo) = o, /'(a-w/a) = o, enposant,pour abreger,/'(a)= -: > ou bien
K*)+f\*)dx = o, /'(*) + f\x)dx = o,
en negligeant les tennes du second ordre; or la premiere de ces equations est une combinaison de (1) et(3); done deux caracterisliques succcssives se rencontrent, quand on fail abstraction des termes du second ordre.
Theoreme. — Les surfaces de la famille (1) touchent Venveloppe, tout le long d } une meme caracteristique.
En effet,/(x, j' f z, a) = o reprEsentera a volontE une enveloppEe ou l'enveloppe, suivant que Ton y considerera a comme une cons tan te ou comme une fonction de x, y y z deduite de
Cherchons le -^ et le j- de l'enveloppe : appelons-les/? et q;
INF1N1MENT PETITS DU i sr ORDRE DANS L'ESPACE. 2J1
a cet effet, differentions /= o par rapport a x\ d'abord, en y considerant a comme fonctioa de x, y> z, nous aurons
df df f V(<*l ** \
dx dz^ dz\dx dz ^ J ~~ y
de la on deduit p : on calculerait q d'une fagon analogue. Mais j- est nul, car c'est liquation j- = o qui sert de definition a a, en sorte que liquation pr£c6dente se reduit a
df df
Ox dz F '
r£sultat auquel on serait parvenu en considerant a comme
dz dz
constant; done le -f- et le ~ de Tenveloppe et de Tenveloppee
sont les m£mes tout le long d'une caracteristique ; leurs plans tangents sont done les mimes, et par suite elles sont circonscrites Tune a Tautre.
Recipuoquemekt : Si une surface mobile
est sans cesse circonscrite a une autre fixe F = o, celle-ci est son enveloppe.
En effet, toute surface fixe F = o peut etre representee par l'cquation
pourvu que 9 soit determine par Tidentite
R^solvons les deux Equations (i) et(2),rune par rapport a a, Tautre par rapport a cp, les valeurs de a et de o seront identiques,et Ton aura a = <p ; les formules (i)et (2) ne sauraient done avoir lieu en me'me temps, que si Ton a © = a.
Cela pose 1 , calculons le p de la surface (2) : pour cela differentions par rapport a x la formule (2), nous aurons
df df dx 0.
»/" df [do do \
le -r^ de la surface (1) est donne par la formule
Pour que les valeurs de p tiroes de ccs equations soient egales, il fa ut que
df I do do \
De merae, pour que les valeurs de q soient egales, il fautque
df [do do \
or les quanlites
do do do
Ox dz* dx*
do do do
dy dz * dy
ne sauraient ^Ire nulles a la fois, sans quoi 1'on aurait
do . do . ,
dx dx+ c$ d r = d ? =0 >
et o serait une constante : la surface F = o se confondrait avec une des enveloppees; done il faut que Ton ait
Of
To=°>
en chaque point ou la surface F = o touche les surfaces de la famille, e'est-a-dire en chaque point de F = o; done cs est determine* au mojen de la m&me equation que Tenveloppe proprement dite des surfaces de la famille consideree.
INFINIMENT PETITS DU I er ORDRE DANS L'eSPACE. 2^3
Theoreme II. — Toutes les caracteristiques sont tangen tes a une mime courbe r telle ou imaginaire.
Nous avons vu que deux caracteristiques voisines se rencontraient, en n£gligeant des termes du deuxi&me ordre par rapport a da.. Les Equations de ces caracteristiques sont
elles se r^duisent aux trois suivantes :
La courbe obtenue en eliminant a, c'est-a-dire le lieu des points de rencontre de deux caracteristiques voisines, est ce que Ton appelle Yarite de rebroussement de l'enveloppe. C'est a cette arite que chaque caracl^ristique est tangente. En effet,/=o,/ , = o repr^senteront a volonte une caraot£ristique ou l'arete, suivant que a sera constant ou determine par f'=o) diflferentions f=oelf f =o par rapport a z : nous aurons, en supposant a variable,
dx dy J dz d%\dx dy J dzj 9
OX
x ! et y' y d6riv£es de x et y prises par rapport a z, auront m&mes valeurs au point commun a la caract^ristique et a
l'ar£te, car ■£• et ~-y c'est-a-dire/^ajet/^a), sont nuls en ces points, et, pour trouver Vx 1 et Vy* de la caract^ristique, il faudrait supposer nuls les coefficients de ~- et -j-> ce qui conduit au m£me r£sultat. Les coefficients directeurs des tangentes aux points communs aux deux courbes sont done 6gaux, et par suite ces courbes sont tangentes.
Theoreme III. — L'arite de rebroussement est le lieu des intersections successives de trois surfaces voisines de lafamille.
274 CHAP1TKK IV.
En effet, les Equations de trois surfaces voisines sont /(«) = <>» /(a + A) = o, /( a -4-Ar)-o ou
qui, combinees entre elles, equivalent a
-Ces Equations de'terrainent un point de l'ar£te de rebroussement.
Probleme. — Une famille de surfaces est donnde par les formules
</<a/i5 lesquelles le nombre des par ante tres a, |3, . . . es* ^a/ a/i + i; trouver son enveloppe*
ConsideVons a, (3, . . . , X com me fonctions d'un meme parametre t qui sera, si Ton veut, Tune de ces quantites. L'enveloppe aura pour Equation la r^sultante de
/= o et de df — Oy
ou de/:=o, et de
rfa, rfp, . . . , ^tant d'ailleurs donnas par les Equations
da dfl r dX
INFINIMENT PBTITS DU l cr ORDRE DANS L'ESPACE. 3~5
II faut commencer par rem placer rfa, . . . , <Tk par leurs valeurs d£duites de (2), dans (1), ce qui fournit la r£sultante
n v <H f, <pi, ? f. ••• i ?/ L ) n
Cette equation revient a (i)oua df= o ; les formules <f t = o, «p 2 =: o, . . . , cpa = o font connaitre a, [3, . . . , X en fonction de t) et il ne reste plus qu'a £liminer t entre (3) et/— o, ou, ce qui revient au mSme, il faut £liminer a, [3, Y> • • •> X entre /= 0,^ = 0, . . . , <p„ = oet liquation (3).
Remarque I. — Si la famille de surfaces etait donn£e au moyen de n equations homogenes entre n + 1 variables a, b y c, . . . , on prouverait, comrae on l'a fait k propos d'une question analogue de Geom^trie plane, que l'enveloppe s'obtient en eliminant ces parametres a, b, c, ... entre les n -f- 1 determinants fonctionnels que I'on peut former avec les premiers membres des n Equations donne'es consid6r£es comme fonctions des n -+- 1 variables a } b, c, ....
Remarque II. — Une famille de surfaces dont 1'equation
est de la forme
n'a pas d'enveloppe; aussi faut-il se garder de resoudre les equations des families de surfaces dont on veut Tenveloppe, par rapport a leur parametre. Nous n'insistons pas sur cette question dont Tanalogue a 6te* trait^e en detail en G6ome*trie plane.
Nous ferons cependant remarquer encore que, si le parametre a entre au premier degre" dans une famille de surfaces, toutes ces surfaces passent par une courbe fixe, laquelle peut e'tre conside>ee comme leur enveloppe; ainsi, liquation de la famille £tant
celle de Tenveloppe est $(x, y, z)-=.o aveco(.r, y, s) = o, courbe par laquelle passent toutes les surfaces de la famille.
276 GHAP1TRB IV.
