III. — Recherche des courbes égales à leurs développées
Appelons R le rayon de courbure d'une courbe, a l'angle que fait ce rayon de courbure avec une droite fixe, l'axe des X par exemple. Je dis que léquation
détermine entièrement la forme de la courbe (mais non sa position); l'équation (i) devient en effet, en y remplaçant R et a par leurs valeurs exprimées en fonction des coordonnées x,,y d'un point de la courbe,
■i/(y') étant mis pour o { arctang — — j» on en lire
(i + y-)^ et, par suite,
x — Xo = 0(/), Xq désignant une constante*, on déduit de là
et l'on aura
y —yo= I F{x — xo)dx = ^{x — xo);
c'est l'équation générale des courbes ayant pour équation
Iransporlées parallèlement à elles-mêmes dans leur plan.
ÉQUATIONS d'ordre SUPÉRIEUR XON LINÉAIRES. aOQ
Ainsi réquation (i) détermine complètement la forme d'une courbe, mais cette courbe peut être transportée parallèlement à elle-même, sans que l'équation (i) en soit altérée.
Cela pose, l'équation de la développée de la courbe (i) sera facile à trouver : en appelant R' son rayon de courbure, son ang^le de contingence sera <:/a, son élément d'arc ± dB, en sorte que l'on aura
mais l'angle a' que la normale à la développée fait avec l'axe des X est a dr ^ : donc l'équation de la développée est
ou, si 1 on veut,
(2) R = oYa=h-
Pourqueles équations (i) et (2) représentent la même courbe, il faut qu'en faisant tourner l'une des deux courbes d'un angle
). zn - elles deviennent identiques; donc
s'il avait fallu renverser sens dessus dessous l'une des courbes pour la faire coïncider avec l'autre, on aurait eu
Nous nous occuperons d'abord de cette équation qui est plus facile à intégrer que (3) : si on la difTércntie, on trouve
et, en changeant a en ). — a,
26o CHAPITRE V.
Combinée avec (4), cette formule donne
ç(À — a) = — cp"(À — a) OU bien
cp(a) = — ^"(5t) ;
cette équation admet pour solution
o ( a ) = A cos a -1- B sin a ou
cp( a ) = A sin ( a -T- /i ).
A et II désignant deux constantes, on peut supposer h = u sans altérer la forme de la courbe ; on a alors
R = cp(a) = A sina ou bien
^^ ^, — — = A sin ( — arc tan^— )
ou
on en conclut
et, en intégrant,
(5) -arctansryH — r- = —;
on aurait de même
ou
Des formules (5) et (6), en posant )/= tang-, on lire
A, X = — (« -4- sin {<),
y = 7 (i -^ cosu);
ÉQUATIONS d'ordre SUPÉRIEUR NON LINÉAIRES. 261 • 1' 1 A
SI 1 on change u en - -h «, x en ^ 4- — t: et y en — j', on
trouve
A , T = — (« — sinzf ),
JK = -7- ( I — cos «/ ),
équations d'une cycloïde.
L'équation (3) paraît beaucoup plus difficile à intégrer que l'équation (4); mais on peut en trouver un nombre illimité de solutions. Si Ton pose en effet
cp(a)= AoC^oa-i- Aie''.^^- Aoe"^^^-
o ( a -+- À ) = Ao e'»o>- e'^o ^f -i- . . . , o'(a)= «oAoe"o'^ — .. .,
on satisfera à la question en prenant
no = ± €"<>''•, rt, = =h:e"<^-, ...,
c'est-à-dire, en prenant pour /?o, /?(, n.^^ ... les racines de l'équation,
Cette équation a deux racines réelles; si l'on appelle v l'une
d'elles, on aura
o(a)= Ae''^:
donc, en remplaçant dans (i) R par sa valeur,
c'est l'équation d'une courbe égale à sa développée. Pour
intégrer cette équation, nous prendrons a pour fonction et
nous aurons
cola = -y,
(lo) devient alors
sin-'a
-, — =r= Ae-^--*
a' sinae"'^ = A ; on en conclut
/sin
ae^'^f/x = Xx
sina cosa ) e^^ = Xx -+- const.
Si l'on différentie, on a
mais
dy
-cola ax
dx = — langa dy,
donc
— cosoce'^^dx — Xdy,
d'où l'on tire, en intégrant,
— ( cosa H — ; sina ) e"''^= A v -i- const.
On peut, en transformant les coordonnées et en posant
v = tangp, écrire
kx = cos(a-i- P)evx^
AjK = sin(a + ^)e^3'; on en conclut
^ = lang(a-+-P),
donc a -i- [i est l'angle polaire 0 de la courbe rapportée à des coordonnées polaires. Mais on a
ÉQUATIONS d'ordre SUPÉRIEUR NON LINÉAIRES. 263
on en conclut, en faisant x- -r- y- = i'--,
A /•'- =- eî-'^'J-?) ;
la courbe cherchée est donc une spirale logarithmique, mais il est clair qu'il existera encore beaucoup d'autres courbes jouissant de la propriété énoncée.
Une analyse toute semblable à la précédente conduirait à trouver les courbes semblables à leurs développées ; il faudrait alors résoudre des équations de la forme
ou bien
cp(À — y.)= =rA-o(a).
La seconde fournit lépicycloïde, la première fournit entre autres courbes la spirale logarithmique.
