X- — cy^ = rr /i

ce qui représente une conique rapportée à ses axes.

IV. Trouver les courbes dont le rayon vecteur issu d'un point fixe est égal au rayon de courbure.

Soient /■ le rayon vecteur, 0 l'angle que (ait ce ra^on avec un axe fixe passant par le point fixe. L'équation à intégrer sera (l. H, p. 1 18}

rr — 2 r - — /•'-

;•' et /•" désignant les deux dérivées de /■ prises par rapport à H; cette équation peut s'écrire

/•2( rr" -'-x r'"- — r- f = (^ r"- -- r'^ )■»

ou, en divisant par/",

Irr'—'y.r'-^ \2 / r'^X^

ÉQUATIONS d'ordre SLPÉRIELR >0N LINÉAIRES. 207

Si Ton pose alors

/■' dr rr" — r'- el<x 1

cette équation deviendra

d^ cos-;i. cos-|j./ cos'"' jji

ou

Id^ \- ' \ f/0 / cos^ [j.

et, par conséquenlv

doù l'on lire

<^0 cos a

„, f/.'x cos !X

I ± cos ;x et

. r cos [X <5^;x

.] I lir cos;x'

doîi les deux solutions où l'on n'a pas mis de constante, ce qui revient à faire tourner l'axe polaire

0 = — |x + tangl ;x, (J = [j. -j- col J |x.

L'équation (i) donne alors

dr

= tangjx,

dr d\i. sin [X /■ I rh cos [X

et par suite

logr = logA' cos'2|^;x ou — log/: sin^ J |x,

k désignant une constante, ou, ce qui revient au même,

/- = k cos^ \ [X, ou

siii^ 2 1-"-'

258 r II A PITRE V.

on a ainsi /■ cl 0 en fonction de u. On ne trouve pas ainsi la solution évidente r=coQsl., qui est singulière.

Si l'on avait voulu traiter la question avec des coordonnées rectilignes, on aurait obtenu une équation homogène, facile à intégrer, mais avec des calculs beaucoup plus compliqués.