V. — Équation intrinsèque d'une courbe

Je suppose que Ton demande de déterminer une courbe connaissant la relation

qui donne le rayon de courbure R en fonction de l'arc; si l'on choisit des axes de coordonnées quelconques et si l'on appelle a l'angle que la tangente fait avec l'axe des x, on pourra écrire l'équation (ij ainsi

ds

ds

= '!* ( 5 ) -1- const. = •!/ ( s ) -1- et ;

en prenant les tangentes des deux membres et en observant que tanga = y- , on a

■£. =tang[4-(s)-f-a];

204 en A PITRE V.

on aurait de même

clx cîy

cosaou — ^ = cosf (!/ + a 1, —"-= ?,\n\'li ^ a\ as as

et, j)ar suile,

x = Xq-^ I cos{^ -\- a)ds,

7=70+ / ^in('\>^a)ds,

^0 et j^o désignant deux constantes. Il est clair que la courbe est égale à la courbe représentée par

x= I cos{'J^ -h a) ds,

y= I s'in {'il -{- a) ds,

dont on peut écrire les équations

x= I cosa cos'\> ds — / sin« sind/ r/s,

y= \ ^macos<i^ds ^ f cosa sini{/<r/i-.

Cette courbe elle-même, en faisant tourner les axes de Tangle a, se ramène à

.r = / cos^ ds, y = I ^in<\ids;

donc l'équation R=c3(5) ne représente que des courbes égales entre elles et même elle représente toutes les courbes égales à une certaine courbe dont la lorme est caractérisée par la forme de la fonction cp. On lui donne pour celte raison le nom adéquation intrinsèque de la courbe. On devra pouvoir de celte équation déduire les propriétés intrinsèques de la courbe, c'est-à-dire les propriétés de cette courbe, considérée abstiaclion faite du monde extérieur.

ÉQUATIONS d'ordre SUPÉRIEUR NON LINÉAIRES. 265

Nous allons faire une application de celte théorie à la résolution d'un problème qui pourra paraître difficile au premier abord, mais qui se résoudra simplement si l'on a égard aux considérations précédentes.