VI. — Problème inverse des roulettes
Problème. — Quelle courbe il faut-il faire rouler sur la courbe donnée B, pour qu' un point lié à la courbe C décrive la courbe A donnée.
Nous allons chercher l'équation intrinsèque de la courbe C : à cet effet, nous désignerons par p, R, R, les rayons de courbure de xA., B, C respectivement; 5 sera l'arc des courbes en contact B et C, compté sur chacune d'elles à partir d'une origine fixe jusqu'au point de contact, o- sera l'arc de la courbe A. Enfin n et 'o désigneront la dislance d'un point de la courbe A au point correspondant de contact des courbes B et C, et l'angle que fait cette distance avec la normale commune à B et C. On a trouvé (t. II, p. 1 82 et p. 1 3 1) (/2 est normale à l'arc c/t)
cos'-s — n
rJ
d. = {'^^-^Uds.
Or p est fonction de t; n et cp sont des fonctions des coordonnées du point de la courbe A et du point de contact correspondant de B et C ; donc n et 'o sont fonctions de s et o-. Enfin R est fonction de s : ainsi les deux équations précédentes contiendront 5, R,, o-; l'élimination de 7 donnera bien une relation entre R( et 5, c'est-à-dire l'équation intrinsèque de la courbe cherchée.
On peut écrire les équations (1) sous la forme
(.) («-Hp)«(i-.-j;-) = pcoscp, ^^-«(^-^)-
266 CIIAPITUl' V.
Quand la base est une droite, ^ ^ o, et, en posant ^^ = A-,
on a
(n -h p)nk = 0 coso. -r- = n/c ; 'as
/», p, (5 s'expriment en fonction de t : on aura alors
(4) (« + p)^=,ocosc?, rik=^-
La première de ces équations donne s en fonction de s- ou a en fonction de 5; la seconde donne alors k en fonction de s. Supposons que la roulette doive être une droite parallèle à la base ; en prenant la base pour axe des x, on aura p = oo, n r= const. Les formules (4) donneront
dz , di
-r = costû, HK = —r- ; as ' as
jnais cos',3 = i , donc ch = ds, nk = 1 , donc A= const. ; la courbe roulante doit donc être un cercle de rayon /?. Pour avoir le point décrivant, par le point de contact on élèvera une perpendiculaire qui passera parle centre. Efl'ectivement, le centre décrit bien une droite parallèle à la base.
