VII. — Équations de Liouville

I^a méthode de la variation des constantes s'applique assez bien à l'équation suivante, résolue par Liouville,

dyy

dx)

Deux méthodes peuvent servira l'mtégrer : i"on peut d'abord négliger le dernier terme; on a alors à intégrer

d^y .. . dy

ÉQUATIONS d'oRDRK SUPÉRIEUR NON LINÉAIRES. 267

ce qui donne

C désignant une constante. Cela posé, supposant C fonction de )', difTérenlions cette équation; nous aurons

dx^-y-dj^dx W(^)Je

ou, remplaçant l'exponentielle par sa valeur,

d^ ^dy \dC dy ç.. ^.

dx'- ~ G dx ydy dx ^•^^'"''J'

portant dans (i) cette valeur à la place de -r4' on a

\dY\dQ,dy ^ .^ ~\ ., dy ^. J dvV

ou bien

G dy ^^''

G = C'e/^'^"^->-; (2) devient alors

dy r^,jFiy)Jy+ff(x)dx

dx~^^

équation dans laquelle les variables sont séparées.

2" On peut encore intégrer l'équation proposée en posant d'abord /(.r) = o et en suivant la même méthode.