IX. — Équations de Brassîne et de Malmsten
M. Brassine a démontré que Ton pouvait toujours intégrer complètement l'équation
ÉQUATIONS d'ordre SUPÉRIEUR >0N LINÉAIRES. 269
au moyen de quadratures, dès que Ton en connaissait une intégrale première; si l'on pose en effet
y = ze 2-' on trouve
et l'équation (i) devient
-^--^zr-{x)--^zf{x)-'^\x,ze^ Je2 =0.
Celte équation est de la forme
elle s'intégrera par suite, en vertu du théorème de Jacobi démontré au paragraphe précédent, au moyen de quadratures, si l'on en connaît une intégrale première, ce qui aura lieu si l'on connaît une intégrale première de la proposée (i).
L'équation suivante, considérée par Malmsten, jouit des mêmes propriétés :
En effet, si l'on en connaît une intégrale première
contenant la constante arbitraire c, on pourra d'abord écrire l'équation (P)
Ox Oy dx^ . V ' ^ ^ '
et (Q) ainsi, en la différentiant,
d'^y ^ [^ Q dx'^. Ox dy
En éliminant -j^> on a
do do /()0 d^ ,\
— — I -, ( i- ^r- 'j — ' il = o
dx oy \dx ày 1
et, en différentianl par rapport à c,
():fc)c c)j^t^c ây Oc '
c'est-à-dire
donc y- est un facteur d'intégrabilité dedy — ^dx, et la solution de l'équation (P) s'achèvera par les quadratures.
On voit de même que l'équation suivante, encore citée par Malmsten :
^cp(a7, y')—y''H^>y) =0
s'intègre par quadratures quand on en connaît une intégrale première.
X. — Intégration des équations au moyen d'un facteur. Étant donnée une équation difTércntiellc
(i) F(^. jK, y,7", y") = o,
(juc nous supposons du troisième ordre pour fixer les idées, mais que l'on pourrait supposer d'un ordre suj)éricur, on pourra souvent l'intégrer en appliquant la méthode suivante. Posons
ôx ' ' ôy ' dy' ' '
on essayera si F ne pourrait pas être, quel que soity, la dcri-
ÉQUATIONS d'ordre SUPÉRIEUR NON LINÉAIRES. 27I
vée d'une fonction /; pour qu'il en soit ainsi, il faut que (t. III, p, 2l5)
„ dV d'-T d^Y"
dx dx^ dx^
Si cette relation est satisfaite, on calculera la fonction y et
y = const.
l'on aura une intégrale
de (i), sur laquelle on pourra opérer comme sur (i). Si la condition (2) n'est pas satisfaite, on cherchera à déterminer \ de manière que aF soit la dérivée d'une fonction f, quel que soitjKÎ alors il faudra que
Oy dx
[df J^TL^- \W/~ dx^ l^/ ^ "■
Cette équation sera du troisième ordre en A et se décomposera généralement en plusieurs autres, parce qu'elle doit avoir lieu, quels que soientj)^, j-', ^" etjK''-
Théorème. — Si une équation d'ordre n peut être mise sous la forme
(3) pdy''-^ -}-Q=o ou Pdy'^-i-^Qdx =0,
P et Q désignant des fonctions de x, j', y'^ -j-y ••-, y"' ' = -^ — -, Il existera toujours un /acteur [x, tel que
soit une différentiel^, exacte.
En effet, soit
une intégrale de (3), c désignant une constante arbitraire : en différentiant cette intégrale, on a
()o ào , do , , ih
( 4 ) -^ dx -i- -r- dy -\- ^, dv -h . . . — , ' . f/v"-" = o
^^' dx ày -^ ày -^ Oy"-^ -^
on
CIIAPITIIE V.
do do do
CcUe équation doit fournir la même valeur do y" que (3); donc on doit avoir
do do do do
—JL i L y' l ! : yll—l :
d.r dy dy"~- "^ dy"-
ct par suite l'équation (3) multipliée par le facteur pi. fournira l'équation (5) ou (4), dont le premier membre est une différenlielle exacte.
En égalant le facteur jji. à l'infini, on pourra parfois obtenir
une solution singulière.
XI. — Remarque curieuse au sujet des équations d'ordre supérieur.
Soient
y. et |îi désignant dcu\ constantes arbitraires, deux intégrales d'une équation dinérentielle d'ordre n. Lagrange a remarqué que, si l'on posait
et que l'on éliminât a et [i entre (i) et (2), on obtenait une équation
difTérentielle, admettant pour intégrale le résultat de l'élimination dcy"~* entre les équations (i);en eflet, cette résultante
étant dilTércntiée, on obtient une équation
ÉQUATIONS d'ordre SUPÉRIEUR NON LINÉAIRES. 2"] 3
Ces équations (3), (4) sont équivalentes à (i) et (2); car ce sont des intégrales mises sous des formes différentes d'une même équation différentielle. Si l'on y adjoint l'équation ^(a, ,3) = o, on tombera donc par l'élimination de a et ^ surO('j, '^) = o; (3) est donc une intégrale de cette équation.
L'équation Q(cp, <|/)=:^ o a une intégrale singulière que l'on peut déduire de (3), en différentiant par rapport à a, ce qui donne
mais on a
ce qui donne
à^ d^ ~ à'^ di ^ ^'
Celle équation, combinée avec /= o et 0(a, j3) = o, donnera par Télimination de a et [^ une solution singulière de
Considérons, par exemple, l'équation générale des cercles
l'intégrale générale de cette équation est, ce qu'il est facile de vérifier,
deux autres intéf;rales s'obtiendront en différentiant cette
équation et seront
d'où l'on tire
L'élimination dey" donne
{T — c^)-hy{j— ?) = o; L. — Traité d'Analyse, V.
celle équalion, quand on suppose
est une inlégrale de
La solution singulière s'oblieul en éliminant a et [j entre
^ — ^^fif-'i^), 6(a, 13) = o, ,^ d6
ce qui fournit la développante de la courbe (j(a, [i) = o. On peut ainsi former des équations intégrables, avec des solutions singulières; mais, considérée comme méthode d'intégration, la proposition que nous venons de faire connaître est plus curieuse qu'utile. (Lvgr.vivge, Fonctions analytiques; — J.-A. Serret, Journal de Liouville, i'^ série, t. XVIII.)
XII. — Remarques sur la formation des équations différentielles
Nous avons déjà fait observer (p. 12) qu'en éliminant les constantes «,, «o, (73, . . ., a„ entre l'équation
(1) f{oc,y, a,, a., ..., «„) = »
et ses n dérivées on obtenait une équation différentielle d'ordre n admettant pour intégrale générale l'équation (i); les constantes «,, «o» • • •> (hi sont les constantes d'intégration. En procédant de cette façon, on peut former un certain nombre d'écjuations différentielles qui! sérail difficile d'intégrer directement et dont on connaît a priori l'intégrale. Quand on rencontre les équations dillérenlielles que l'on a
ÉQUATIONS d'ordre SUPÉKIELII NON LINÉAIRES. 2']^i
ainsi formées a priori, on peut avoir la solution de problèmes difficiles à résoudre directemenl.
C'est ainsi que nous avons (p. 88) pu résoudre des problèmes dont la solution était formée d'une série de courbes homofocales, que nous avons reconnues à la simple inspection de leur équation différentielle.
Une conique arbitraire peut constituer la solution d un grand nombre de problèmes : ceci nous engage à faire connaître l'équation différentielle de ces courbes, qui est du cinquième ordre, puisque l'équation d'une conique quelconque dépend de cinq constantes arbitraires.
L'équation d'une conique quelconque est réductible à la forme
y =^ mx -i- n dz \/\ x''--\- lax -k- b^
A représentant le discriminant de la courbe; en différenliant
deux fois de suite, on élimine m et n, et l'on a
\ y = —{a- — b\){\x- -h 7.ax -T- b ) ^, d'où
(i) y"^ = (a'' — b\}~^(lx--{-Q.ax ^ b),
et par suite, en dilférentiant trois fois de suite.
Telle est l'équation différentielle des coniques, qu'il est d'ailleurs bien facile d'intégrer directement sous cette forme. Dans la parabole A = o; dans cette bvpothèse, pour éliminer les constantes, il suffit de différentier deux fois l'équation (i) et l'on a, pour l'équation différentielle des paraboles,
dx- \ dx- j En développant les équations (a) et (3), on a
i \ ) ay'i — lyy'" = o
CHAI'ITRK V,
|j()ur Icqualion des paraboles, et
( 5) ^or'"^ — 4 5/' y" r'^- -~ 9 /"^jk^ = o
pour rcqiialion des coiikjiics en «^rnéral.
On arrive encore à cette formule en partant de réquation
\x- -T- 2 B xy -+- Cy- ^ iDx -+- 1 Ey -1- F = o ;
en différentiant trois fois de suite, on élimine A, D, F et l'on a
y"(Bx + Cy -^ E) -^ ^y'(B -+- Cy')= o;
en différentiant encore, il vient
j'v(B:r + C7^-E)+ ^/"(B -4- C/)-t- 3Cy"2 = o,
puis, en différentiant encore,
yHBx-^Cy + E)-f- 5j-(B + Cj') + loC/"/' - o.
En éliminant alors Bx + Cy + E et B H- Cj^', on a léquation des coniques sous la forme
jv 5^.v ,oy"
qui se réduit à (5) quand on développe le détcrniinanl. Une méthode toute semblable conduirait à l'équation du neuvième ordre des courbes du troisième degré.
Nous allons faire quelques applications de ces formules.
PuocLi;ME I. — Trouve/- toutes les courbes te/les, que leurs diamètres présentent un point d'injlexion aux points où ils rencontrent ces courbes.
Désignons par j:,^' les coordonnées d'un point de la courbe cherchée, et par x,jK( et x-xy> les coordonnées de deux points voisins; soient jc, z= x -j- y.-r- t,X2^= x — a + ô. Si les points j", K, et X'^y-i sont sur une parallèle à la tangente, il est facile
ÉQL ITIONS d'ordre SL'PÉRIELR NON LINÉAIRES. 277
de voir que x — Xs et jc — x-^ seront à peu près égaux et de signes contraires, et que la différence 2 £ sera du second ordre, ce qui justifie la notation adoptée. Exprimons qu'il en est ainsi : on aura
yv = y ^{y. — t)/ ^ {'X -+- £)2 ^ H...,
donc, en vertu de (1), ou
(o = ..f^^(.^+3.^,^(îa3.-^4^M
\ +(ai-hioa-2ï2-^ 5e*) '^ . -r- . . . .
Les coordonnées ç. r, d'un point du diamètre sont
X\-^ X-y Kl -i- Vo
— ! el "^ --^
OU
Ci.)
(4) • ^( 3a5s -4- E^*) ^^ -v-(ai-+-6a2s2 -+-£*) ^^
2^8 CliAlMTHK V.]
L'équation (2) donne, comme première approximation.
où s' est du troisième ordre au moins; en substituant cette valeur dans (2), on a
En bornant l'approximation au troisième ordre, on voit alors que s' est du quatrième ordre, et, en bornant alors l'approximation au quatrième ordre, on a
d'où l'on tire, aux termes du cinquième ordre près,
yy
donc
enfin
ey
yv" ,
