io
On aura ensuite, au lieu de ( i).
si l'on forme alors 1 équation
ÉQUATIONS d'ordre SLPÉRIELR >0N LINÉAIRES. 279
qui exprime que le point [x, y) a une inflexion, et, si l'on fait a = G dans le résultat, on trouve
C'est l'équation générale des coniques.
Piioblè;me II. — Troia'er une courbe qui ait en chaque point une conique ayant avec elle un contact du cinquième ordre.
En mettant le problème en équation, on tombe encore sur l'équation générale des coniques.
Problème III. — Trou^^er toutes les courbes dont les diamètres sont rectilignes.
Ce sont, d'après le problème II, des coniques; ce théorème a été démontré pour la première fois par M. Bertrand, dans le Journal de Liouville.
Problème IV. — Trouver toutes les courbes rencontrées par leurs diamètres en des points tels cjue, si l'on y mène la tangente au diamètre, cette tangente soit parallèle à une direction fixe.
L'équation différentielle du lieu est celle des paraboles.
Problème V. — Trouver une courbe dont tous les points sont des sommets.
L'équation du problème est
or, quand on cherche l'équation différentielle des cercles (:r — a)2-(-(jK— ?)-= R^
en éliminant a, ji), P», on trouve précisément l'équation (i); donc les seules courbes dont tous les points soient des sommets sont des cercles.
28o CHAPITKE V.
La tangente au diamètre d'une courbe au point P où ce diamèti'e rencontre la courbe est ce que l'on appelle Vaxe d'aberration en ce point P, l'angle H que cet axe fait avec la normale en P est donné par la formule
tangO=y- (' "^ •>'')•>'"' •
enfin le centre de la conique osculatrice en P, que l'on appelle centre d'aberration, est sur l'axe d'aberration. 9 est appelé Vaberration en P.
Si donc on demande une courbe dont l'aberration soit toujours nulle on trouvera un cercle.
XIII. — Application de la théorie des équations différentielles à la recherche des intégrales définies.
Une méthode assez féconde pour trouver la valeur des intégrales définies consiste à les considérer counne fonctions d'un paramètre, et à chercher une équation difîerenlielle facile à intégrer à laquelle elles satisfassent. Voici quelques exemples de cette méthode.
Soit
on en tire
e *^dx;
du r ~x- — ; dx
—r- = — / t' *■ — - ia, da ./„ 37-
a , a dx ,
ou, en posant - = /, — — = — dt,
du /•" -l'-T^^
-r- = ■?. I e '-dl.
|)ar conséquent
du
da
et
ÉQUATIONS d'ordre SLPÉRIELR NON LINÉAIRES. 281
c désignant une quantité indépendante de a\ on a donc
Faisant a = o, on a
Jf e~^'dx = c,
où c = -^; on a, par suite,
Considérons encore l'intégrale
'" cosQX dx
on a
d-u r^" x''- QO'iax dx
da-
r cosaxdx
r^" , r^" cosax d. = — I Q,osaxdx-\- j —
\ X dx = — / ç,o%axdx-\- I
c'esl-à-dire
d'il sm an
aa- a
Intégrons cette équation : nous aurons
C sine
M = Ae« -i- B e-" — ^« / e-« du
€"■ da,
A et B désignant deux quantités indépendantes de a. Posant na ^= z. on a
f — -^ e "dz 0 ^
sm;: 4- - , e "dz.
1 1 fiit- I
l'our a = o, // = 2 arc lang/j, et y- = o-, donc
2 arc tangn = A -i- B, o=A — B; par suite,
rna • z
sin j -, — ■^- e "az
rna • "
Supposons rt > o et faisons /? = x; nous aurons
si, au contraire, a était ^o, on aurait r.e"- : ainsi l'on a
cosax ,
dx = Tre-",
suivant que a est négatif ou positif.
La même méthode pourrait servir à la détermination d'un grand nombre d'intégrales définies, connues pour la plupart au moyen d'autres méthodes. INous n'insisterons pas davantage sur ce sujet.
EXERCICES ET NOTES
1. Trouver une courbe dont le rayon de courbure soit proportionnel au carré de la normale.
2. Trouver une courbe dans laquelle le rayon de courbure soil proportionnel à une puissance de l'ordonnée. Quelles sont les \alcurs de cette puissance pour lesquelles on peut achever les calculs?
3. Trouver une surface de révolution, qui en chacun de ses points ait deux rayons de courbure égaux et de signes contraires. (Le méridien est une chaînette.)
ÉQUATIONS d'ordre S L' P É R I E L R NON LINÉAIRES. 283
4. Trouver ua conoïde, ayant en chacun de ses points deux rayons de courbure égaux et de signes contraires (hélicoïde).
3. Trouver une courbe dont le rayon de courbure soit égal à celui de sa développée ou de la développée de sa développée.
6. Trouver une courbe dont l'arc soit égal à la sous-nornnale. (S'intègre au moyen de quadratures.)
7. Trouver une courbe dont l'arc soit proportionnel à la normale {id.).
(S.' Former l'équation générale dilTérenlielle du quatrième ordre qui appartient à toutes les hyperboles équiiatères, et intégrer cette équation.
9. Former l'équation générale des coniques circonscrites à un triangle donné, et trouver l'équation différentielle de ces coniques; intégrer ensuite cette équation différentielle.
10. Trouver une courbe dans laquelle la projection du rayon de courbure sur un axe fixe soit constante.
\\. Trouver une courbe telle que la somme des projections de son rayon de courbure sur deux axes rectangulaires soit constante.
12. Trouver une courbe dont le rayon de courbure soit dans un rapport constant avec celui de sa développée.
13. Voici quelques formules utiles pour résoudre un grand nombre (le problèmes sur les rayons de courbure : soient/? la distance de l'origine des coordonnées à la tangente à une courbe au point {x, y), fis l'élément d'arc de cette courbe, R son rayon de courbure, y. l'angle que la tangente fait avec l'axe des x :
dp . dp
x—pcoiT. j-iin'x, y = p iin'x^ -j-cosT.,
p = a7Cosa -t- j' sin a,
' di d'j.'
li. Trouver une courbe dans laquelle l'arc soit proportionnel à la distance d'un point fixe à la tangente, comptée sur une droite passant par le point fixe (courbe de poursuite) {voir n" 13).
15. Soient R le rayon de courbure d'une courbe et |3 l'angle qu'il
2S4 CIIAIMTKK V.
fait avec un ave fixe; trouver une courbe, telle que F(3, R) = o;
si R = rt CCS m ( — — ? )) la courbe est une épieycloïde {voir n" 13)-
( Tisserand, Exercices.)
IG. Soient * l'arc d'une courbe, t. l'angle que la tangente fait avec l'axe des a: : déterminer cette courbe sachant que
s = a 01. donne un cercle, s =^ a langa donne une chaînette,
s = a cos ma
donne une épieycloïde (voir n° \'3). (Tisserand.)
17. Trouver une courbe telle qu'entre son rayon de courbure H et celui de sa développée R' il existe la relation {voir n° 13)
on doit trouver une épieycloïde. (TissnriAND.»
18. Trouver une courbe dans laquelle le rayon de courbure soit |)roportionnel à la distance d'un point fixe à la tangente (i'0<> n" 13).
19. Trouver une courbe dans laquelle le rayon de courbure soit proportionnel au carré de la distance d'un point fixe à la tangente {voir n" 13).
20. Trouver une courbe dans laquelle le rayon de courbure soit quadruple de la normale.
21. Trouver une courbe dans laquelle le rayon de courbure/? soit
une fonction du rayon vecteur r.
r dr On s'appuiera sur la formule p = — — > où/? est la perpendiculaire
menée de l'origine sur la tangente.
22. Trouver une courbe dans laquelle le rayon de courbure soit proportionnel au rayon vecteur {voir l'exercice précédent).
