L'équation
dx- {a ^r--i.bx -r- cx-)-
<• < Czdx 11 1 • I
• intègre en posant j' = e-' ; elle devient alors
dz ., A
dx ( a ^ ibx -^ ex- )'-'
m en a une solution
b -^ k ^- cr
a -T- ibx — cxoii
k = \'b- — ac -r- A. ,
( LioLViLi.E, son Journal. \" série, t. IX.) l2o. L'équation
d^y m — i [ djY , .. , .,
•^ dx^ m-^i\dx 1 '
jieut s'intégrer par des quadratures, m, a, b, c étant des constantes
56. Déterminer une courbe telle que, si l'on forme sa transformée par rayons vecteurs réciproques par rapport à un point 0, son rayon «le courbure en M et le rayon de courbure de sa transformée au point correspondant M' aient un rapport constant (Concours de Licence, octobre 18-5).
:27. Si y = f{x) est une intégrale de l'équation
d^y dy dx^ dx
^era aus^i une intégrale, o, b, c désignant des constantes arbitraires.
Un système d'équalions simultanées du premier ordre peut toujours être, lliéoriquemenl au moins, résolu par rapport aux dérivées des fonctions inconnues Xf, x-y, . . .■, x„ prises par rapport à la variable indépendante .r; il peut alors être présenté sous la forme
dxi clx.2 dxn
jsifii • • '•) fn désignant des fondions de .Ti, x-^i . . .f x„ q{ X. Rien n'empêche de poser, et cela d'une infinité de manières,
/• N, Xj . X„
X|, Xo, ..., X„ désignant des fonctions de.r,, ^2, ..., x„, X, dont l'une, par exemple X, peut être supposée égale à un ; les équations (i) prennent alors la forme plus symétrique
, , c/.r dxi dx,i
Parfois les équations simultanées du premier ordre alTeclent une forme moins simple; en combinant, en elTel, les équations (2) par voie d'addition, on peut les mettre sous la forme
P] dxi -^ I '2 dxi -f- . . . -4- P„ dx„ -k- V dx = o, Q, f/ri -;- (^-idx-x -- . . . -1- Q,, dx„ -;- Q dx — o,
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES 9.Sy
P,, Po, . . . , Qi, Qo, . . . désignanl toujours des fonctions de
Nous rappellerons que les systèmes équivalents, (i), (2) ou (3), admettent en général une solution (p. 1 2) renfermant 11 constantes arbitraires; ces constantes sont les valeurs que l'on peut attribuer, arbitraii^emcnt à Xx, x.y, . . ., x,ii pour une valeur arbitraire de x, auxquelles on donne quelquefois le nom de valeurs initiales des inconnues X\, x^, . • . , x„.
Les solutions des équations (i), (2) ou (3) se présentent parfois sous la forme
Uifr,, Xi, . . ., X,,, X, Cl, Cl, .... Cn)
ïl^JXi^ X-y, . . ., X„, X, Cl, Co, .... C„)
C'i, Ci, . . ., c,i désignant des constantes arbitraires, qui naturellement dépendent des valeurs initiales des inconnues. Pour que ces constantes puissent être considérées comme distinctes, il faut que l'on puisse les choisir de telle sorte que pour.r = x^ par exemple, .r" étant arbitraire, on puisse tirer des équations (4)? solutions de (i), des valeurs données arbitrairement à l'avance pour x^, x-,, . . ., x„.
Les équations (4) constituent V intégrale générale du système (i). Indépendamment de cette solution, le système (i) peut, comme on l'a vu, admettre des intégrales singulières.
Rappelons encore que, si l'on résout, théoriquement au moins, les équations (4) par rapport aux constantes, chacune des équations ainsi obtenues
Yi'
sera ce que Ton appelle une intégrale du système (1). On a vu (p. i5) que la condition nécessaire et suffisante pour que '^ = c soit une intégrale du système (i) est que cp soit une solution de l'équation aux dérivées partielles
do Oo f)z>
dx '^ -^^ ôxl '^ " ' ^ •^" dxj,
c)cp do d'-s
dx dxi "^ ■ ■ ■ " (fx^ ~ '
ce qui peut permettre quelquefois de découvrir des intégrales du système (i).
Enfin, pour terminer cesgénéralités, disons que l'on appelle encore intégrale du système (i) toute équation que l'on peut supposer déduite de la solution générale (4) et qui ne renferme qu'une seule constante arbitraire.
