II. — Facteurs d'intégrabilité
On ne sait intégrer qu'un très petit nombre d'équations difTérentielles simultanées. Nous signalerons quelques procédés généraux, (jui malgré leur peu de puissance peuvent rendre des services au calculateur.
Voici, par exemple, un théorème remarquable dont nous ferons usage un peu plus tard :
Théorème. — Soit
un système de n — i équations différentielles entre n variables X i , x^, . . . , x„, les lettres P, , Po, . . . , Q, , Qo, . . . désignant des fonctions quelconques de ces variables; il existe n — i syslènies de facteurs X, ui, . . . , tels que W + B[jL -}-. . . soit une différentielle exacte dz>, en sorte que, si l'on peut connaître l'un de ces systèmes^ de do = o, conséquence de (i), on déduira immédiatement l'intégrale 'S = consl.
Soient, en effet,
(-2) ^i-Ci, 'J2=C.2, ..., Ç„,= C„-,
Pidxi -+- PidXî -T-.
..-hPadXn,
ou
Qidxi-i- Q2dxz — .
..-r-Q„dx„,
ou
les intégrales de (i)', c,, c^, . . . désignant des constantes, on
en tire
l -p- dxi -T- -^ dxo M- . .
\ dxi dx\
. . -f- — ax,i = 0,
i — ^ dxi -+- -— dxi — .
1 dxi Ox-i
. .-h - — <rte„=o,
et ces équations doivent être identiques (i), c'est-à-dire fournir pour les mêmes valeurs de x^^ ^o? •••) -^n les mêmes
valeurs de -^, -^> • • • ; les formules (3) doivent donc être dxi dx\
des combinaisons linéaires des formules (i), et, par suite, on peut poser
— ^ f/j^i + -^ dx, -i- . . . -I- — ^ dx,i = À A + iJ. B -i- . . . , ÔX'i^ 0X2 ' OX,i
)., 'JL, ... désignant des facteurs convenablement choisis. Cette équation est de la forme
f/cp = À Â -+- [JL B -t- . . . ;
les formules (i) multipliées par des facteurs convenables et ajoutées doivent donc fournir des différentielles exactes. Il est clair d'ailleurs qu'il doit exister ii — i systèmes de facteurs simultanés donnant ?i différentielles exactes qui, intégrées, fournissent les n intégrales du problème.
Il y a plus, soient ).,, [jl,, v,, ... le système de facteurs qui réduit A)m + B|jl, 4-. . . à la différentielle c/'^i; loi ^i^ • • • le système de facteurs qui réduit AAj + Ba^ +. . . à la différentielle ch,, . . . , de telle sorte que
soient les intégrales du système (i). Il existera une infinité d'autres systèmes de facteurs d'intégrabilité; en effet, soit (I)(ca,, '.3.J, . . . , '^'n-s) une fonction quelconque de cp,, 'jj, ... ; l'expression
- — do 1 -f- -— <^/'f 2 -i- . . . -1- — rf'f «-1
sera une dlflerentielle exacte, et, par suile^ il en sera de même de
Où de
on a donc un nouveau svslcme de facteurs.
Quoiqu'il soit impossible de donner des règles pour la recherche des facteurs d'intégrabilité, il suffit souvent de savoir que ces facteurs existent pour en découvrir, à simple vue, quelques-uns.
