III. — Équations linéaires simultanées

Des équations simultanées sont linéaires quand les inconnues et leurs dérivées n'y entrent qu'au premier degré. La forme la plus générale dun tel système est évidemment

oiî P( , Po, . . . , Q(, Qo, . . . , S, , Sj, ... sont fonctions de / seul. Pour les intégrer, multiplions chacune de ces équations, à l'exception de la première, par des facteurs pi, . . . , v et ajoutons-les; nous aurons

(Ir dy dz .t^-t, ^ ^

— (Si -I- S.> [i. -^. . .-H Î5,j v) = o.

Si nous posons alors

\ p,+ P2:x-4-...--p„v =p, (2) ^ Qi-Qi'^-^...~Q,r' = q.

\ Si -f- S2 |J- -+-..--!- S,jV = s.

L'équation précédente deviendra

du d'x d)

dt -^ dl dt ^ ^-^

et, en remplaçant x par sa valeur déduite de (2),

du d'}. di ,

c'est-à-dire du ( d]i. \ ( d'

;x-ryj-...-.-(^-pv-r)

^^ ^ pa - s - yyj-^ ^ p'i.- q )~. . .- z\-^^ - p^. - r ] = 0

Maintenant, profitant de l'indétermination de u, ..., v, posons

(i) -^j-py.-q = o. .... -y,v-r = o;

nous aurons

—, 'r- pu — S = O

dt ^ OU

u = e-Z/'f/' / se-i'p'^'df.

I se-ip<

Les équations (3) feront connaître les n — i facteurs u, v, . . . , et, par suite, on connaîtra u ; n systèmes de facteurs <j., . , . , v feront connaître n valeurs de u et les formules (2) donneront n équations de la forme