IV. — Équations linéaires à coefficients constants
Lorsque les équations linéaires données sont à coefficients constants et homogènes, par rapport aux dérivées et aux inconnues, il n'est pas nécessaire d'avoir recours à la méthode de d'Alembert pour les intégrer.
Considérons, par exemple, les équations à coefficients constants aij
— = «U a^l -t- ai2 .Tî H- . . . -t- Oui .Ta,
al dr-i
-g^! = «/tl -^i -f- ««o-r, H- . . . -t- ann ^n \
pour les intégrer, on posera, y et s désignant des constantes,
( 2 ) j- , = Y 1 e-'' , .r, = 7, t'-f ' , . . . , Xn = -[n e-""' ;
les équations (i) dcviendroiil alors
, ("11 — 5)Yi-t- rti->Y2-^----i-«i«Y« =0,
' «T!2lTl-*-(«22 — •S)Y2-t-- ••— <''2«Y« = O,
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLKS S IM l L T A NÉES. 298
el, si l'on pciil y satisfaire, ou aura des solutions de (i). Or on les résoudra en calculant d'abord s au moyen de l'équation obtenue en éliminant les quantités y,, -'25 • • -i V«î à savoir
que nous représenterons aussi par S = o. Cette équation aura ordinairement ses racines distinctes : en les appelant Si, s-2i • ■ . , 5«, chacune d'elles, portée dans les formules (3), permettra de calculer les rapports v, : y.i I Ys '.••'. Y« ; l'une de ces quantités sera donc arbitraire ; chaque racine 5 de S = o fournira donc une solution des équations (1) renfermant une constante arbitraire, et, en ajoutant les solutions ainsi trouvées, on aura l'intégrale générale cherchée; ainsi Xi,X2, • - • sont de la forme
^i = Yi 1 e'^ t -^ Y12 e'^' — ...^ Yi/je-'n t,
^2 = Y2l^^'' "*" '{ii^'i'
les ftj désignant des constantes dont n sont arbitraires.
Mais notre théorie est sujette à des restrictions. Deux choses pourront la faire tomber en défaut : i" l'équation S = o pourrait avoir des racines égales; alors, s n'ayant plus n valeurs, on n'aura plus n svstèmes de valeurs pour les quantités y/y-; 2" il pourrait arriver que les équations donnant les v/y, à savoir les équations (3), fussent indéterminées et il semble quel'int'grale puisse contenir plus de n constantes arbitraires; mais ce fait seul, par son absurdité, laisse à penser que l'équation S = o devra avoir des racines multiples : c'est ce que l'on va vérifier. Si les équations (3) sont indéterminées, examinons le cas le plus simple, celui où tous les mineurs du premier ordre de S sont nuls, sans que tous ceux du second le soient; nous aurons
rfS dS d(au — s)
OS da,-
ds ~ éian — s) ds
daij ds
294 CHAI'ITHE VI.
c'esl-à-ilirc
,/S dS dS dS
fis (){aii — s) Oictii — .v) ■ 0(a„,i — s )'
il en rcsullc que -r- est nul, puisque tous ses termes le sont,
donc 8 = 03 une racine double. On verrait de même que, si l'indétermination des formules (3) était plus grande et que les déterminants du second ordre de S fussent nuls, S = o aurait une racine triple, etc. ; cela revient à dire que si deux, trois, etc., des quantités y,, Vj, ..., y^ sont arbitraires, deux, trois, etc., racines de S = o deviennent égales : il n'y a donc pas à craindre qu'il s'introduise trop de constantes arbitraires dans la solution.
Mais il pourra très bien arriver que Ton ait-r- =0, sans
que les dclerminanls mineurs de S soient tous nuls : notre méthode tombera alors en défaut; je dois faire observer seulement que, si le déterminant S est symétrique, c'est-à-dire si aij= aji, elle ne tombera pas en défaut. Dans ce cas, en effet, on a vu (p. 238, t. ï) que, si l'équation (4) a des racines doubles, les mineurs de S sont nuls, etc.
Supposons S racine d'ordre de multiplicité k de S = o, on trouvera comme il suit k solutions distinctes de (i) : en posant toujours
(2) Xi = 71 e-'^ . . . , x„ — Y« e'
écrivant
les équations (3) donneront si Ton veut, en écrivant— au
, as
leu de
0(aa — ii)'
dS
dS .
Oam'
mais on a identiquement
«1 1 ( Yi e" )--■■■ — ai„( Y„ e'i ) — ;^ (ïi «■" )
, ÔS OS dS 1
(CZll — s) • -T- rtii h. . .-f- «in
c'est-à-dire
DifTérenlions ces identités A" — i fois par rapport à s : nous aurons, en général,
Os' (Jsi dt
-^ ùs'^^ ' Os' dt '
s étant racine d'ordre k de S ^ o, on voit que S, S', .... S*~' sont nuls et que non seulement
n = Yi e•'^ X.2 = Y2 e-'^, • • • , ^11= '[n e-''
seront solutions de (i), mais qu'il en sera de même de
d'i^de-'f) d'i-^e-'^) d'(^{ne^')
Os' Os' Os'
pour / = 1 , 2, 3, ...,/•• — I . Nous indiquerons tout à llicure une méthode générale due à Cauchy applicable à tous les cas (Voir un Mémoire de M. Sauvage, Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3*^ série, t. X )
