j— = aniXi-T- aniX.>+...'^ a„nXn
considérées tout à l'heure, surtout quand l'équation en >v, qu'il appelle Véqualion caractéristique, a des racines égales.
Soit
a„i a„2 . . . (t/in — ^
les solutions sont, en général, de la forme
Si, s-21 ... désignant les racines de F(5) = o; on peut donc écrire
portant ces valeurs dans (i), on voit que ces équations seront satisfaites si Ton a
p (s — CTii)Oi — «1262 — . . . — am^n ç, 6 Fis) ^' " '
P — a.-)i6,-4-('.<f — rt,,)6, — . . . — <7,„6„
Pour satisfaire à ces dernières équations^ il suffit de poser
(5 — rti,)Oi— «1,02 — .. .— «i„0„ = a|F(5),
a,, 7.2, ... désignant des constantes arbitraires. On tirera de ces équations des valeurs entières pour 0,, Qo? • • • ■> ^hi de la forme
^1 = ?llÙ)^l-^- 9l2(-Oa2-H. . .-+- Cpi«(.0^«) 62 = O-2\(s)0Li-h «f22(5)X2 •+- . . .-4" 0-2„{s)'X,i,
les polynômes '■5/y(.s) seront de degré n — 2 en 5, à l'exception des polynômes ©/,, où f = /, qui seront de degrés /? — 1 .
Ainsi nous avons pour toutes les formes possibles de l'équation caractéristique des solutions des équations (i)
renfermant n conslanles arbitraires a,, ao, ..., a„ ; car, s restant indéterminé, les mineurs de t(5) ne sauraient être tous nuls.
11 y a plus : pour / = o, x, , x^, . • . , ainsi déterminés, se réduisent précisément à a,, ao, .... En cfTet, (2) peuvent s'écrire
or, pour / = o,
mais, '^,0, 'j;,3, . . . étant de degré 11 — 2,
et 9,, étant de dci;ré n — i, X-^^- — sera é^ral au rapport
des coefficients des termes des degrés les plus élevés dans 'J|, et F; or ce rapport est un, donc a-, = a,, pour < = 0.
seraient des solutions de (i) se réduisant à a,, a^, . . . pour
La même méthode peut également servir à intégrer des équations d'ordre supérieur sans qu'il soit nécessaire de les remplacer, comme on l'a montré au paragraphe précédent, par des équations du premier ordre.
Considérons, par exemple, les équations suivantes
OÙ A, A', A", R, B', B' désignent des constantes; posant x^^, e^^, y = OoC^', -:; = ^36^'; x^ y, z satisferont aux équations (3) si l'on a
i(— 5 2)0,— B'O.— B'63^0, B"6,^(A'— «2)6,^683 =0, B'Oi-^BOs-^fA'— 52)^3 =0;
s sera déterminé par l'équalion caractéristique du sixième degré
-V (A A' — A' A"— A" A — Bî — IV^ — W'i , 52 — a = o,
A désignant le déterminant des coelficients de x, y, z dans les seconds membres de (3), et f|,, Q^j ^3 seront alors déterminés par les équations (4). Mais on peut aussi satisfaire aux équations (3) en prenant
c^i(s)est pO,ù)e^' p03(s)e«'
Of, f)o, O.t étant déduits non jilus de (4 ), mais de
on tire de là, pour 0, , Oo, O3, des valeurs qui sont entières en 5 : par exemple
'^i(i') est du quatrième degré, 'vj et 'i;. sont seulement du second degré; donc la valeur de x se réduira à
et, pour ^ = o, à
P (ai^-H?i)?(^) O F(5)
Le coefficienl de x'' dans '^{s) est i, il n'y a pas de terme en
dx
in
x"^^ donc X se réduira à a, pour l = o, -j- est égal à
donc, pour ^ = o, il se réduit à Ti,, etc. Le choix des coefficients A, B, ... permettra de vérifier les résultats pour le cas où F (5) a des racines multiples.
