VII. — Équations linéaires non homogènes

Occupons-nous maintenant des équations linéaires par rapport aux fonctions inconnues et leurs dérivées mais non homogènes; elles peuvent se ramener à la forme

(l) ' ~dt ="^21-^' "^"^^S^-' ~---~ <^2"^" "^/2<^')'

\ -^ = «,,1^1 — a„2X.. — .. .-+- Cl.,nX„-\-f„(t).

Nous supposerons que Ion soit par\cnu à lrou\er n solutions distinctes de ces équations dans l'hypothèse où

/i(0=/2(0=--- = o; soient

ces solutions; soient A,, A^, ..., A„ des constantes arbitraires ;

Xi = .4,.T,, -}- Aja-ia — . ..-f- A„x,„,

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES. 3oi

constitueront une nouvelle solution qui sera évidemment la solution générale, puisqu'elle contiendra n constantes A,, Ao, . . . , A„. Pour que les solutions (2) soient distinctes et que (3) soit réellement la solution la plus générale, il faut que, pour ^ = /", ^,, jCoj • • • puissent être choisis arbitrairement par un choix convenable des A; c'est ce qui aura lieu en vertu des formules (3), si le déterminant

/ , = -î"!! ^22 • • • ^nn

est différent de zéro pour f = i", ce que nous supposerons. Appliquons la méthode de la variation des constantes et essayons de satisfaire aux équations (i) à l'aide des formules (3), mais, en y supposant les quantités A fonctions de /, nous aurons

dxi dxii d.ri,, f/A, dA„

dxn dT„i dx„,i <^A, dkn

~dr -^'~dr^---'^^" 'dT -" ■^"' ^TT ~- • -'^ """" ~dt '

En portant ces valeurs et les valeurs (3) de a:,, Xo, . . . , x,i, dans(i), celles-ci deviennent, en observant que les ;r/y sont des solutions dans Thypothèse f^ = o,/2 = o, . . . , /*« = o,

de ces formules on tire -7-^ j -^y •••' puisque le délernii-

dt lit ' '

nant V±:j:,, >r,2 ... oc,iu n'est pas nul, et la solution

s'achève par les quadratures.

Lorsque les coefficients «/y se réduisent à des constantes, nous avons vu que l'on trouvait facilement des solutions par-

302 en AT 1 TUE VI.

ticulières dans l'hypolhèse y, =yo = , . . = o ; la méthode précédente sera donc toujours applicable à ce cas. Dans le cas où les «/y sont constants et où

nous avons trouvé avec Cauchy au paragraphe antéprécédent

P 2| On —

••^^"'■?"'cW/-V

•■-^==«'^"^cU 0

rr, -^

Si maintenant, en supposant a,, ao, . . , fonctions de /, ou essave de satisfaire aux équations (i), on trouve, en appli-

quant la méthode de la variation des constantes, que a', = -7-^»

a.,, . . . doivent satisfaire aux équations

^''■■'-F^'---"-^'"-'.'=-yV(0.

On satisfait à ces fornniics en prenant pour les dérivées a) les valeurs

car elles se réduiront, en observant (|iie o,j (s) quand i^j al de degré inférieur de deux unités à F(5), à

ou à des identités. On aura donc

• / e--«'!A-'o'/, (|jL)£/ijL-i- const.,

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES. 3o3

et, par suite, les solutions du système (i) sont

= — J / :^r--- ■ e^^t-V^dix,

^\ F(5) = — I / ■ ■ ■ ■ e«^'-!A' dfx

Pour t = (q, ces solutions se réduisent à zéro ; pour avoir des solutions se réduisant pour / = /q à a,, oto, . . . , il suffira d'v ajouter les solutions qui se réduiraient à ces quantités pour y, =/o ==...=: o. Ainsi ces solutions seront