IX. — Sur un système à trois fonctions inconnues

Lorsque l'on rencontre des systèmes d'équations de la

forme

dXi -^

~dT ~^"'J ^' ^J'

(jù les rt/y désignent des quant i lés constantes, on réussit quel-

dx dt

dy dt

dz dt

= YJ"J'.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES. 3o5

quefois à les inlégrer en prenant pour ^,, x-i^ . . . des lonctions doublement périodiques de t de mêmes périodes.

Considérons, par exemple, le système suivant que l'on rencontre dans la théorie du mouvement des corps solides

a, ^, Y désignant trois constantes. On intègre ce système, en prenant pour x. j', :; des expressions de la forme

^ — A sn(^/ -— Il ), jK = Bcn(^/-+- /O, ^ = C iln(^^ -t- A ),

A, I), C, i?, h désignant des constantes, ainsi que le module A" des fonctions elliptiques. Nous aurons (t. I\ , p. 198)

— = kg^xi{gt^h)An{gt---h^,

dv

-Z. ^ \lgsn{gt^ /i)dn(gl ^/i),

^ = - CgA^- -nigt -^ h)cn{gl-^h);

en portant ces valeurs dans (i), ce système sera évidemment satisfait, si l'on détermine les constantes A, B, C au moyen des équations

('^) A^'- = 'A Bn.^^0^ C^-A-^=-Y;

on aura donc la solution générale

X = -- sn {gt -i- «),

o y= — ^ cn(gl-^ h),

z — ',- (ln(^/ " h);

3o6 CHAPITRE vr.

les trois constantes d'intégration sont g, h, k. Sous une autre forme, les intégrales seront, A, B, G étant déterminées par les équations (2),

/■' Xdx

-k'{gl-\-h)