X. — Intégration de quelques systèmes

r Les équations

dx dy

ax -^ by -^ cz -^. . .^ 1 a' x ^- b' y -r- c z ^. . -^ a!

se ramènent aux équations linéaires en égalant cette suite de rapports à dt, ce qui donne

dx ,

! suffit d'éliminer t entre les intégrales du nouveau système pour obtenir celles de l'ancien.

a° Les équations que l'on obtient en écrivant que le rayon de courbure d'une courbe plane est une fonction /{s) de l'arc s sont

, . , dx . dv • ■

on les intègre en posant -^ = cos/, -7- ^sin/, et par suite

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES. Soy

d- X . . di d- V . di ,

-TT =^ — sin i -5- , -j^ = cos i -r', on a alors ds^ ds ds- ds

(^)' = /(0 et i=J^jXÏ)ds,

et

x= I cos ids, y—f *''i'<^'S- 3° Les équations suivantes

dxY /dvY [ dz

ds J ' \ ds j ' \ds I - "/-(*)' fd-^xy- /d^yV- /d-^^V

s'intègrent dès que l'on en connaît une solution, x,,y,, z,. En effet, si l'on effectue une transformation de coordonnées

/ X = axi -^byi -4-c^i, (w) . y= a'xi-r-b'yi-^c'zi,

{ z = a"xi'^b"yi^c"zi,

a, b,c, ... désignant les neuf cosinus réductibles à trois, on trouve que

-rî j v2 -J- -2 — r- -^ V- -i- -2

que et qi

Les formules (w) sont donc des solutions plus générales du s^'Stème proposé : ce sont les plus générales, car l'élimination de J' et X conduit à une équation en z du troisième ordre, et les solutions (o)) renferment trois constantes arbitraires.

Comme application, cherchons une courbe dont le rayon de courbure et le rayon de torsion soient constants. Les

3o8 CHAPITRE VI.

équations du problème sont