X -^ -^ y - -^ z ^ = I, x"^ -i-jK"2 -i- z'"^ = consi
X ■^ -f- J' - -r- ^ ■= =: COnSl.,
les dérivées des coordonnées x, y, z étant prises par rapport à l'arc. L'hélice satisfait à ces équations; donc l'hélice transportée d'une manière quelconque dans l'espace est la solution la plus générale.
Les équations d'une courbe tracée sur la sphère de rayon a et dont le rayon de courbure reste constant sont
.r "2 -+- y"^ -H ^"- = const.,
et Ton en conclut que le cercle seul satisfait à la question.
XI. — Solution directe de deux problèmes résolus précédemment.
Problème L — Trouver une courbe dont le rayon de courbure et le rayon de torsion soient constants.
Les équations du problème sont
les accents désignant des dérivées relatives à l'arc s. Do (i) on tire
puis, en dlflerenlianl et en tenant compte de (2), ( 5 ) X X'" 4- y y"' -^ z'z'" = - a 2 ;
en dilTércntiant (2), on a
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES. SoQ
de (4) et (6) on lire
yz—zy' zx —xz xy —yx ^(ji
zx'"-
giy'^'"-
g{xy"-
d'où Ton lire
x' = ff(y'z"—z'y')~:c, y'=g(z'x"-x'z")-^'^, z'= g(x'y"—y'x") + -(,
a, |j, Y désignanldes constanles. On en conclul, en multipliant la première par x' , la seconde par y', la troisième par -',
sans ajouter de constanle, ce qui revient à choisir convenablement l'origine des arcs. Posons
a, ,3, Yj • • • désignant les neuf cosinus de la transformation des coordonnées. Rien n'empêche de supposer dans (7) que a, (S, Y sont trois cosinus : il suffit pour cela de remplacer 5 par /«, k désignant une constante; a, p, y seront alors liés par la relation a- + [S- + Y' = i ; mais alors (7) s'écrira
(8) ^^ = l<s, l'=A; Ç = o, et les formules (1) et (^) donneront
3lO CHAPITRE VI.
OU
Si l'un fait alors ?'= (i — A-)"'cos'f , '//= (i — k-y sin», on
(1 — /i-2)(— ^ =«2, o = . 'r- const.
el enfin
;., / r- as , / ,— . «5
ç = y/ I — A-2 eus — > T, = \/ 1 — A:2 sin --=;=
En inlégranlct en posant \/i — /r^=/i, on a
;. A- . as //- as ^ ,
c = — sin -y- ) T. = cos -j- , L = Ks;
ah a h
^, r,, Z, sont, comme l'on voit, les coordonnées d'une hélice ; la courbe cherchée elle-même est donc aussi une hélice.
Problème 11. — Trouver sur la sphère une courbe dont le rayon de courbure soit constant.
Les équations du problème sont
x'^-hy'- ~ z'- = I,
en procédant comme tout à l'heure, on trouvera
mais N .rr'= o, ^^j:;"=: — V ;r'- = — i ;" on peut don(
écrire, en désignant par <^ une constante,
ÉQUATIONS DIFFERENTIKLI.es SIMULTANÉES. 3ll
et. en inlégranl,
y = g{z'x—x'z) — ''i, z = ff{xy~y'x)~'i,
a, |j, Y désignant trois constantes; on en lire
a- ^= IX — 3 j' — - Y ;;,
et Ion voit que la courl)e cherchée est plane.
