XII. — Équations intrinsèques d'une courbe gauche

Des théories développées aux paragraphes précédents, il résulte qu'une courbe gauche est parfaitement déterminée de forme quand on se donne le ravon de courbure R et le rayon de torsion T en fonction de l'arc s\ ainsi les relations

déterminent sans ambiguïté la forme de la courbe; on leur donne le nom d'équations intrinsèques de la courbe.

Pour établir cette proposition, il suffit d'observer que les équations ordinaires de la courbe s'obtiendront en intégrant les équations

où x^y, z désignent les coordonnées d'un point quelconque de la courbe et où les accents servent à représenter des dérivées relatives à s. Si l'on considère .r', i', z' comme des inconnues et si X', Y', Z' désignent une solution du système (2), on a vu que la solution la plus générale était

UY

wr

3l2 CHAPITRE VI.

«, ^, /", . . . désignant neuf cosinus direcleurs d'une Irans-

formalion de coordonnées rectangulaires quelconques; on en

tire

a7=aX — b\ — cX -^ Xq,

y = a'X -r- b'Y — c'Z -t-jko,

XoiXoi ^0 désignant trois constantes arbitraires. Ces équations sont les équations finies de la courbe cherchée : on voit que cette courbe est superposable à la courbe

ce qui démontre notre théorème.

Les équations intrinsèques d'une courbe gauche seront surtout utiles à considérer quand on voudra étudier les propriétés intrinsèques de la courbe, c'est-à-dire les propriétés qui ne tiennent aucun compte des relations de la courbe avec le monde extérieur.