I -^ — a"-T- b" X -t- c"r — y{(t -4- ^^ -t- cy

de ces deux équations on tire enfin, en niultiplianl la première

dy , 1 dx

par -7^1 la seconde par -,- et en soustrayant, ' dt ' «/

( X dy — y dx )ia-\-bx-^cy)

— dy {a' -i- b'x -+- c'y ) -\- dx ( a" -+- b" x~ c''y) = o.

C'est précisément l'équation fi): pour intégrer cette équation, on commencera donc par intégrer les équations (a); leurs intégrales sont de la forme

u — A e"-4- lî e't -h C K'.

A', 5', ,s"sont racines d'une équation du troisième degré facile à former. Sur les trois constantes A, A), Ao, une seule est

arbitraire; les rapjiorts -~ j - - sont déterminés; donc, dans 57= >j)^= — 7 II n entrera plus que deux constantes arbitraires. L'élimination de / fera encore disparaître une constante, comme il est facile de le prouver. En effet,

A, e*' 4- B, e^'t -+- C, e""' A, -4- Bi e'^'-^'< -t- Ci e'*'-^'< .

ÉQUATIONS DIFFÈRE XTIELLES SIMULTANÉES. 3l5

... Al Bi o Cil A» Bo Q

SI 1 on pose -^ = a,, — = ,i,, —=-/,, — = a;,, -|y = jJo,

Co B C

-^ = vo, = |î, - = V, |îi et Y seront arbitraires, a^, j^o, yo,

a,, ,3,, ^', seront des constantes données. Si l'on fait de plus

5' — 5 = 0-, 5" — 5 := 3-', on aura

or on peut éliminer ye'^'^; en appelant a cette quantité, ^ie"^' sera ^ w'^ et, après l'élimination, il ne restera plus que la

constante —•

M. Fouret a intégré l'équation

'LlyX dy — y dx ) — M dy -f- N dx = o ,

dans laquelle L, M, N sont des fonctions homogènes de même degré, en posant

ou encore en posant

cosO sinO

dans les deux cas, l'équation devient linéaire.