XV. — Équation intégrée par Lagrange

Proposons-nous de trouver la développante de la courbe qui a pour équation

Appelons x, y les coordonnées d'un point de la développante et R le rayon du cercle oscillateur de la courbe donnée : les

3i6 ciiAPirnE VI.

relations qui existent entre a, ^, -c, JK sont, outre l'équation (i), les suivantes (p. 96, t. II)

(2) (or-y.y--^ (^3)5=R2,

(3) {X-'X) -^y'iy-^) =0,

(4) I-/--HJ"(JK-P) =0.

L'équation différentielle de la développante s'obtient en éliminant a et ^ entre (i), (3), (4) ou, si l'on veut, a, ^, R entre (i), (2), (3), (4) ou enfin a et R entre

(5) {x-xy--r- [j-Cp(3c)]-^= K2,

(6) {x — CL) -+-7'[j — o(a)] =0,

Or ((3) est la dérivée de (5), et (7) la dérivée de (6) prise en laissant a constant; donc la résultante ou l'équation de la développante

(8) jKH — j— = ^(^-y

doit avoir pour intégrale générale l'équation (5), et, par conséquent, on doit conclure de là que les développantes cherchées constituent une solution singulière de l'équation (8) avec une seule constante arbitraire.

Voici comment Lagrange intègre l'équation (8), dans son deuxième Mémoire sur les solutions particulières (IV*' Vol. de ses Œm-res).

Posons

il on résultera

(10) JK+ i^^ =cf(a);

ces équations étant diflférentiées donnent

ax — Y dx T. y a j. — = d%,

y dx -i- d ■ — — j— = o' ( a ) i/a ;

en multipliant la seconde par j'' et en ajoutant, on a, réductions faites,

cette équation se décompose en deux

(m) f/a = o et I -i-jK''f'(^) = o.

Examinons d'abord l'hypothèse f/a = o ou a:=c()nsl. : l'équation (lo) donne alors

[ j' — o ( a )] J-" 4- I — ^'2 = o et, en intégrant,

c désignant une constante; mais, en vertu de (()) et(io), pour X =: a, on a j' = '-2 (a) ; donc c = — a, et l'on a

ou, en intégrant et en appelant R une constante,

l'intégrale générale de l'équation (8) est donc représentée par des cercles quelconques ayant leur centre sur la courbe

Examinons maintenant la seconde équation (11)

si entre (9) et (10) on élimine j'", on a

3l8 CHAPITRE VI.

OU bien

c'csL-à-dire, en vertu de (12),

y — '^{:i) — (x — y.)o'(oL) = 0.

Mais a est une fonction donnée de j-'; on aura donc

celte équation est du premier ordre; son intégrale, facile à obtenir (p. 89 et suiv.), est l'équation des développantes

de? = '^(a)/

EXERCICES ET NOTES