II. — Formation des réduites

La première réduite de la fraction ( 1^, considérée au |>ara- L. — Traité d'Analyse, V. .u

322 CHAPITUE VII.

graphe précédent, est ° '"^ ' ; la seconde est

bi bi — a^

et l'on soupçonne déjà une loi de formation. Si l'on désigne, en général, par P„ le numérateur et par Q„ le dénominateur de la /i''"'*' réduite, on est porté à écrire

Cette formule se vérifie bien facilement, en montrant que, si elle a lieu pour une valeur de ii et pour toute valeur inférieure, elle aura Heu pour une valeur supérieure d'une unité. Pour démontrer cela, il suffit d'observer que l'on passe de

■^.^ à 7^^^ en changeant ^„ , , en Z>„+, + ^^^ ; on a donc, en

admettant la formule (3),

ou

Q„+2 ~ (Q«6«-+-l-|- Qn- l««+l)6„+2-r- Q„a„+2

Qrt-i-1 t'«-i-2 -^ V« ^n+2

la loi de formation se maintient donc pour l'indice /? . + i . et, comme cette loi se vérifie directement pour les indices i, ■?, 3, . • . , elle est générale.

En résumé, on a

Po=-6o,

Pi= 6o6i-^«i = Po&i

Qi = ^.,

p2 = Pi6,-^Poa2,

-Qo«2,

P/i+i = Prt^«+i -^ P« i^/i+n Q«+i — Q«6«+i -î- Q«-i««+i-

THÉf)RIE UES KHACTIO.NS C 0 .\ T I .\ LES, 323

Théorème I. — On a

( 5 ) P„+i Q„ — Q„-Hi P„ = (— I)" a, a2 . . . a^+i-

En effet, en vertu de (4), on a

P«T^iQ« — Q^+iP/i^ (^«^«-hi — P«-i«rt+i)Q/t

— {Q«6«+l — Qrt-l ««-ri ) P«

(- I )«-' «„+i «„ . . . a., ( P., Qi — Q, P, ).

Mais PoQ) — Q2Pi= — «i«o: la formule (5) est doue démontrée.

Théorème II. — On a

P«+i P« (-i)"a,rto

Cela résulte delà formule (5).