III. — Conversion des fractions continues en série

Pour voir si une fraction continue est convergente, on la convertit en série comme il suit; conservant les notations des paragraphes précédents, on a

P/iH-l P/i-Hl » /( , ' n P/i — 1 '1 1^0 Pu

Q^ ~ q;;:;; ~ q^ ^ q« ~ o^ "" " ' ■ "^ o^ ~ Oo "^ o^

ou bien

Q«+i Qo^'VQ. Qo/ ""■■■' VQW. qJ' c'est-à-dire, en vertu de (6),

, s P«-^i , , ^ '^<i^'^2 «la^as (— i)"qia2 ...«„+i

la réduite de rang n -\- 1 est donc la somme des n -^ 1 premiers termes d'une série : si celte série est convergente, la

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fraclioli continue elle-même seru convergente. Voici quelques théorèmes que l'on peut en déduire :

Si <7, = «2 = • • • = j:", -c désignant un nombre positif plus petit ou égal à un, et si /^j, b^. ... sont des nombres au moins égauxàl'unilé, la fraction continue sera convergente, car elle pourra être convertie en une série de la forme

Bi ' B, B„ ■•'

13,, Bo, . • • étant des nombres croissants.

En particulier, si a, :^ «2 = • • • =^ 1 1 et si 6i, b-^, . • - sont des nombres entiers positifs, la fraction continue sera convergente.

On a fait servir réciproquement la formule (^) à la conversion des séries en fractions continues; nous laissons au lecteur le soin de développer cette théorie, dont l'utilité est contestable.