IV. — Utilité des fractions continues en Arithmétique

Les fractions continues dont les numérateurs sont égaux à l'unité et dont les dénominateurs sont entiers jouent un rôle im|)ortant dans la théorie des nombres et dans la théorie des approximations numériques.

Thiïouîcme I. — l^out nombre commensurable ou incommensitrable peut être dé^-eloppé en fraction continue dont les numérateurs sont l'unité, et dont les dénominateui's sont des entiers positifs.

Le développement n'est possible que d'une seule manière; il est limité pour les nombres commensurables, illimité pour les nombres incommensurables.

En ellet, appelonsE(a:) le plusgrand entier contenu dansx : on a identiquement

THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES. Sa'l

j^ désignant un nombre inférieur à un, bien déterminé; or ce nombre peut être représenté par — ? Xi désignant un nombre supérieur à un. Ainsi l'on peut poser

de même

Xi, X3, . . . désignant des nombres plus grands que un. Il en

résulte

ce = E(x)-

Eixo-- —

Si x,i est entier, la fraction continue s'arrête; si, quel que soit n, jamais Xn n'est entier, la fraction continue se prolonge indéfiniment et elle est convergente : x est alors incommensurable. Il est facile, en effet, de prouver que, si x est

de la forme -, p et q étant deux entiers, le développement

se termine; en effet, dans ce cas, l'un des nombres x,i sera le plus grand commun diviseur de p et rj. On peut d'ailleurs généraliser ce théorème :

Théorème II. — La fraction conlinuc «1

dans laquelle en valeur absolue on a toujours

cl^, a-x-, . . . , ^1, .•• étant entiers, est le développement d'un nombre incommensurable : ce théorème est soumis à une exception.

En effet, appelons F, , F^, . . . , F„ les réduites successives

F, en valeur absolue est moindre que i ; comme ~ est

moindre que i et (jue «, est entier, Fo sera encore moindre que 1 en valeur absolue : on verrait de même que

donc F3 sera moindre que i et ainsi de suite. Cela ne veut pas dire que F„ n'aura pas pour limite un; mais, pour c|u'il en fût ainsi, il faudrait que

eut précisément pour limite i , et que bi = a, ~ î, de même que le quotient complet suivant eût pour limite i et que b2= a2 + Il ••.. En supposant donc que l'on n'ait pas en

valeur absolue 6, = «, + i , 60 ^ «2 -'- i la limite de la

fraction considérée ne sera pas égale à i ; encore faudrait-il

,, ^ 60 b-i b\ -yt

que 1 on eut — << o, — <; o, . . . , en supposant — -< o. JMel- ^ a, «3 ^ ^ «1

tons donc ce cas de côté, je dis que, si la fraction considérée est convergente, elle représentera un nombre incommensurable.

Désignons, en effet, la valeur de la fraction par ; si cette

valeur estcommensurable, on pourra supposer A et B entiers

et premiers entre eux. Désignons par ^ le second quotient

cojnplet; on aura

d'où

«2A — ^^oB ^ G;

on en conclut qiieC est entier : la troisième réduite pourra de

même être représentée par -^, U étant entier, et ainsi de suite.

Si donc A et B sont entiers, on voit que Ton pourra trouver des nombres entiers A, B, G, D, . . . , indéfiniment décroissants, ce qui est absurde.

Ce théorème sera utilisé plus loin dans diverses circonstances.