V. — Approximations numériques
Si l'on considère la fraction continue
bn-r
dans laquelle bt, b>, ■ . sont des entiers positifs, et que l'on désigne
désigne par j^, —^, • • les réduites successives, on aura
Q«+i Q« Qrt^/i+i donc :
Théorème I. — La dij/érence entre deux réduites consécutives tend vers zéro.
Théorème II. — La fraction est toujours comprise entre deux réduites consécutives.
En effet (p. 323), son développement en série est
Pi 1 , J .
Q. QiQ2"'"Q2Q3 ■•■'
les termes de cette série sont alternativement positifs et négatifs et décroissants ; les sommes des deux premiers, . . . , des n premiers donnent la deuxième, la troisième, ... la /i''™*' réduite; donc, etc. c. q. k. d.
Théorème III. — De toutes les fractions irréductibles approchant de la valeur de la fraction continue, les plus simples sont les réduites successives.
D'abord la réduite ^r 6st irréductible, car la formule
' H^l Qrt — Qn+l P« = I
montre que P« et Q„ ne sauraient avoir de diviseur commun, ce diviseur devant appartenir àP«+, Q,j — Q«+iPrt- De plus, en appelant y la valeur de la fraction, on a, par exemple,
la diflerence entre f et Tune des fractions réduites entre lesquelles elle est comprise est moindre que la différence de
ces fractions ou que „ ^ — • Soit — une fraction approchant
de /" plus que — ^ ou ""^' ; sa différence avec / devra être
moindre que p^— ^=r — ; mais sa différence avec ^ devra être
aussi moindre que -t—t^. Or
pour que cette différence soit moindre que tt-t; — ? il laut
que 7^ Q«+i '■> 1^ fraction — sera donc plus conqjliquée que
~ ou que ^'~ 1 puisqu'elle aura un dénominateur plus grand
que celui de chacune de ces fractions : le théorème se trouve donc démontré.
De là un moyen de se procurer les fractions les plus simples qui approchent d'un nombre donné commensurable ou incommensurable.
Pour bien faire saisir l'utilité de la théorie qui précède, je citerai seulement un cas dans lequel elle est appliquée. Je suppose que l'on veuille que le rapport des vitesses de deux roues d'engrenage soit a \ le rapport du nombre de dents de ces deux roues devra être a; si a est un nombre incommensurable ou seulement une fraction irréductible de dénominateur très grand, il conviendra de remplacer a par une fraction irréductible s'approcliant le plus possible de a\ cette fraction sera fournie par la théorie précédente.
AppLicATioJS. — Le nombre tï réduit en fraction continue est
Les réduites successives sont les nombres bien connus
VI. — Résolution de l'équation indéterminée du premier degré.
Supposons que a el b soient premiers entre eux : rédui-
sons -, en supposant o >a en traction continue, soit jz — b ' ' ^ Vtt-i
l'avant-dernière réduite; on aura, en observant que .-est la dernière,
Il résulte de là que, a et h étant deux nombres premiers entre eux, il existe toujours des nombres entiers, tels que
ax -^ by — 1 .
33o CHAPITRE VII,
Ceci posé, proposons-nous de résoudre en nombres entiers l'équation
(i) aa;-+-p7 = Y.
On peut supposer que l'on ait enlevé tous les facteurs communs à a, [i, y; alors a et ^, a et y, [i et y ne sauraient avoir de facteurs communs, et il sera toujours possible de trouver des nombres x' ctj^', tels que
En prenant ^ =r y^', j^ = yj^', on aura satisfait à l'équation (i). Soit iPo? JKo une solution de (i) : on aura
aa^o-f
-Pro =
et,
en
retranchant
de
ol(^x
-Pi>-
-Jo)
ou
X — Xq
lin égalant ces rapports à ^, on a
pour que x qV y soient entiers, il faut et il suffit que t soit entier; les fractions (2) ayant leurs dénominateurs premiers entre eux ne peuvent être égales qu'à cette condition.
