I. — Équations intégrables immédiatement
Théoriquement, une équation du premier ordre peut être censée résolue par rapport à la dérivée de la fonction inconnue T, prise par rapport à la variable x\ elle peut alors se présenter sons la forme
on /' désigne une fonction quelconque de x et y^ forme que l'on remplace le pins souvent par la suivante
(il Pû?:f -}- Qf// = o,
I' (>t Q désignant des fonctions données de x et i'.
l^orsque P est fonction de x seul et Q fonction de y seul, on dit que les variables sont séparées; l'équation a alors visiblement pour intégrale
I Vdx -T- I Qdy = consl.
Un grand nombre de problèmes de Géométrie se résolvent au moyen d'équations difl'érenticlles dans lesquelles les variables sont séparées ou peuvent se séparer facilement. l'>n voici quelques exemples :
PiiouLÈME l. — Tromper une courbe dans laquelle la sous-nor/nale est constante.
I 1 • fiy /Il
La sons-norniiilc ayant pour expression j'-y- (t. Il, ]). i~).
en désignant par c une constante, réquation du problème
sera
^ -^ = c, ou ydy — cdx = o\
on en conclut, en intégrant,
■- ex ^^ const.
ou
y'^ = -xcx -f- const.
équation d'une parabole. La parabole est donc la seule courbe dont la sous-normale soit constante.
Problîlme II. — Trouver Les courbes dans lesquelles la sous-tangente est constante et égale à c.
La sous-tangente ayant pour expression ; t. II, p. i7)j';t-»
ay
l'équation du problème est
dx
•^ dy
ou
dx dy
les variables sont séparées et, en intégrant, on a a désignant une constante; on en tire
ay ^ e'- ;
cette courbe est une logariilimique. Une transformation de coordonnées ramène l'équation précédente à la forme
Problème III. — Trouver une courbe dans laquelle la
44 cnAPirni- II.
sous-tan i^eiitc est proportionnelle à une puissance donnée
de l'abscisse.
L"é<|iialion du problème est
dx
•^ dy
K et a désignant des constantes; les variables seront séparées en écrivant cette équation ainsi
dy dx
d'où l'on déduit
logr
r- r = const.;
K(a — ijar^t-i
en suivant la même méthode, on trouve, sans plus de difficulté, que la courbe dont la sous-normale est proportionnelle à l'abscisse est une conique rapportée à ses axes.
