II. — Du facteur d'intégrabilité
On reconnaît souvent, à la simple inspection d'une équation
de la forme
V dx -t- Qc// = o,
que son premier membre est une diflerentiellc exacte d's\ il est clair alors que l'intégrale de cette équation est C3 = const. Loisque la solution d'une équation difîerentielle est ainsi ramenée à la recherche d'intégrales indéfinies de différentielles à une ou plusieurs variables, on dit qu'elle est ramenée aux quadratures.
L'éqiiiilion
X dy -X- y dx = o ,
par exemple, est immédiatement intégrée en observant que son premier membre est la difTérentielle de xy et que par suite clic donne, en l'intégrant ,
xy = const.
ÉQUATIONS DU P H E M lE R 0 R D R E. 4^
On peut démontrer que :
Etant donnée une expression différentielle de la forme
Pdx-^Qdy,
dans laquelle P et Ç) sont des fonctions quelconques de x et de Vi on peut toujours trouver un facteur a tel que
lj.{P dx — Qdf)
soit une différentielle exacte.
En sorte que, quand ce facteur u. sera connu, il sera toujours facile d'intégrer l'équation
P dx -^ Q dy = o ,
au moven d'une quadrature.
Posons, en effet,
(i) Vdx-^Cldy = o
et soit
l'intégrale générale de (i) renfermant la constante arbitraire c. Lélimination de c entre l'équation (2) et sa dérivée
,„ d¥ dv oV
Or dx Oy
doit donner l'équation ( 1 ; ; en effet, y et -~- tirés de (2) et (3)
doivent rendre ( i) identique, c'est-à-dire doivent satisfaire à (i), quels que soient x et c; les équations (1), (2) et (3) doivent donc se réduire à deux, et (i) a lieu en même temps que (2) et (3). Or (i) ne contient pas c : donc c'est le résultat de l'élimination de c entre (2) et (3). [Nous avons déjà démontré ce théorème (p. i3) avec plus de généralité.]
Ceci posé, si l'on suppose (2J résolue par rapport à cet mise sous la forme
46 ciiaimtrf: H.
on obtiendra l'équation (i) en éliminant c entre cette équation et sa dérivée; or, en prenant la dérivée, c disparaît; l'équation dérivée est donc le résultat de l'élimination de c, et l'équation
ôx dy dx ou
doit être identique à (i), c'est-à-dire fournir les mêmes valeurs de -y- pour les mêmes valeurs de .r ely; on pourra donc poser
dv '^/" . ^ P dx dx ' dy Q
et, en appelant ^ le rapport de y- à P,
1 df i Of on en conclut
P dx q ôy '"''
ce qui démontre l'existence du facleav d' intc^rabililé u.. 11 est essentiel d'observer que (i) et (4) ou
\}.{V dx ^ qdy ) = o
ne sont identiques que pour les valeurs dej^ satisfaisant à (3); il pourra donc se faire que certaines valeurs de )- satisfassent à (i) sans satisfaire à (4). Ces valeurs sont celles qui rendent ]x infini : en effet,
Vdx ^qdy= 'Yf- dx t^ dy) ; ix\dx ày -^ )
<loi)c Vdx -\- Q^dy s'annulera non seulement pour
, - dx -^ -f- dy = o, dx dy -^
mais encore pour - = o. On voit donc que - =o fournira en général une solution singulière.
La recherche du facteur u. est le plus souvent un problème difficile à résoudre; si l'on exprime en effet que
[JL P dx — ;JL Q cl y
est une différentielle exacte, on a
Oy dx
OU
oy dx ôx ôy
Cette équation en a est une équation aux dérivées partielles, et nous verrons dans un autre Chapitre que, pour la résoudre, il faut en général savoir intégrer l'équation (\).
Toutefois il v a des cas dans lesquels on peut deviner une solution de l'équation (5). et comme, évidemment, toute solution de (5) est un facteur d'intégrabilité, on pourra ramener l'intégration de ( \) aux quadratures. S'il existe, par exemple, un facteur a fonction de x seul, l'équation (5) se réduira à
^''\dx dj)~^di
ou à
I ô'x \(à? fK^' \x dx Q \ dx dy ^
et, '}. devant être fonction de x seul, il faudra que le second membre de cette formule ne contienne que x\ si cela a lieu, en le désignant par '^{x), on aura
\j, dx '
48 CIIAIMTUE 11.
OU, en intégrant,
et a sera connu. On trouvera tout aussi facilement, quand il en existera un, un facteur d'intégrabilité fonction dey seul. Lorsqu'il existe un ("acteur d'intégrabilité de la forme XY, X désignant une fonction de x seul et \ une fonction de y seul, on peut le découvrir en observant que la formule (5) devient, pour <j. =z XY,
ou
Oy àx ^ \ Y
La quantité- y-j qui est nulle dans le cas où Pdx -h Q<^/jK
est une dilTérentiellc exacte, est donc do la forme
Qfi.T)-PF(y)
quand a est de la forme XY, y désignant une Ibnction de x seul et F une fonction de y seul, et l'on a
par suite,
logX == f/(x)d.r et logY = fv{y)dy.
Remauque 1. — L'équation (.")) a une infinité de solutions; en d'autres termes, il y a une injhiilé île facteurs <Vinlégrabililé.
En effet, soit a un facteur d'intégrabilité de ï'dx -f- Ocly ;
on aura
[x{V dx -^ Q dy ) = df,
f désignant une fonction de x et r, et, o'{f) désignant une fonction arbitraire de/", on aura
lx'j\f)yVdx -:- ody) = ^\/)d/= d'^if),
ce qui prouve que Pdx -^ Q^dy, multiplié par ;j. 'f'(/)> ^'^^ encore une différentielle exacte <^^'f (/) et que \^'^'{f) est un facteur d'intégrabillté.
Re.aiarque 11. — Tout facteur d'intégrabillté de
Pdx-r-Qdy
est de la forme 'j.-^[f), a désignant l'un d'eux et f désignant lafonction qui a pour différentielle ]x{pdx-\-(^dy), ou, plus généralement, f désignant unefonction qui, égalée à une constante, fournit une intégrale de
Y' dx -r- Q dy = o.
En efFet, soit M un facteur d'intégrabililé : on aura (i) 'S\{Vdx^(ldy)= d'h,
•l désignant une certaine fonction de a: et j^; on a de même (2) a(Pf/r + Q J/) = df.
Or, si l'on pose Pr/x -i- O^dy = o, on aura
d'I =0 et df = o et par suite
6 = consl., /=const.
Réciproquement, l'une des équations
i]/ = consl., y'=const. ou c/-!/ = o, c//'=o
entraînera l'autre; car elle entraînera
Vdx-{-Cldy = 0.
Ainsi / et -]> sont constantes en même temps, c'est-ù-dire qu'ils sont fonctions l'un de l'autre; de (i) et (2) on tire
et, comme ']> est fonction de y, on voit (pie — estfonctionde/: donc Al = u.':>(f). c. q. f. d.
5o CHAPITRE II.
Rf.aiarqle III. — Si l'on connaît deux facteurs ;a et M susceptibles de rendre
\i.{V dx^Q^dy) et U{V dx -r- (^dy)
différentielles exactes, en égalant le rapport — à une con-
stante, on aura V intégrale de V équation P</x -f- Q fA^ = o, puisque, /= c étant cette intégrale, M =/|^.
Nous terminerons ce qui est relatif à la théorie du facteur d'intégrabilité en faisant connaître une méthode qui permet souvent de le découvrir : cette méthode consiste à décomposer l'expression V dx -\-Çldy en deux autres de la forme G û^M -t- H t/p ; G, H, i/, V désignant des fonctions de x et y, on est alors ramené à trouver le facteur de Qdu-^^dv; G~' est un facteur de G du, et H~' un facteur deWdv; le
facteur le plus général de (j du est ' p ? celui de Yidv est —TT-; f et F désignant des fonctions quelconques, s'il est
possible de déterminer des formes de y et F, telles que l'on
ait identiquement
f{u) Vis) G ~ H '
en appelant a la valeur commune de ces rapports, il est clair que jj. ( G <:/«/ -f- H dv) ou ^{l^ dx -r Q dy) sera une différentielle exacte.
Pour bien faire comprendre l'esprit de cette méthode, nous l'appliquerons à l'exemple suivant :
Intégrer Uéquation
(i) {y-\-x''-)dx-~{y''- — x)dy=o.
Cette c(pialion peut s'écrire
(/ dx — X dy)-r- (a-* dx --y-dy) = o;
ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE. 5l
il est visible que y dx — x cly a pour facteur d'intégrabilite — :j car
Y dx — T dv , X 5 =d-;
son facteur d'intégrabilité le plus général sera donc —/(-)'
/désignant une fonction arbitraire. De même x- dx + y- dy a pour facteur d'intégrabilité un, et, comme
x^ X- dx -i- y'^ dy ^:^ d —
son facteur d'intégrabilité le plus général est une fonction arbitraire F(^^ -r- y^) de x'-^ H- J'^- Si donc ou peut disposer de /et F, de telle sorte que
tA^-'^^
IX sera un facteur d'intégrabilité du premier membre de (i). Pour satisfaire à cette équation, il faut prendre
y-¥{x^ -T- y^) devra donc être homogène et de degré o ; pour satisfaire à cette condition, il suffit de prendre
Y{x^+y^)= î ^ix^-y^y^
{x^-^ y^y et l'on a
l'intégrale de l'équation (i) est alors
'( >' -T- x-)dx -i-(j2 — ^)dy
= const.
III. — Sur une méthode propre à fournir un facteur d'intégrabilité.
Considérons l'équation (i) P dx-r- Qdr = o\
efTectuons la substitution consistant à changer a: en x -4- î X, et j' en ^' 4- sY; X et Y désignant des fonctions de x elj-, et £ un infiniment petit ou, si l'on veut, une constante indépendante de X el y que nous nous proposons de faire tendre vers zéro. L'équation (i) deviendra
on, en vertu de (i),
\()x dy ) \ ox oy ~
Supposons que 1 on puisse déterminer X et \ de telle sorte que cette équation soit identique à (i); on aura, en exprimant que CCS équations donnent les mêmes valeurs de-j-> ' ' d.v
c'est-à-dire en remplaçant dx par O, dy par — P, c'est-ù-dire
dy PX -^ QY ùx P.\ + QY
ÉQL.VTIONS bl PREMIER ORDRE, 53
cette é<|uation montre que . est un facteur dintégra-
hilité de P r/r -h Q ^/v. Donc :
Etant donnée V équation difféientielle
(i) V dx-^^ldy = o,
si Von peut trouver des fonctions X, ^ telles que, en remplaçant dans cette écjuation x et y par x -\- tl^ et par y -\- tY , elle ne change pas de forme {abstraction faite d'un facteur), V expression
sera un facteur d'intégrabilité. La quantité i est supposée infiniment petite.
On voit que, si P et Q sont des fonctions homogènes de même degré, la substitution àe x + tx k x el àe y -{- ty à y
n'altère pas l'équation (i): 7-— est alors un facteur d'in-
^ ^ ^ ^ Px -+- Qy
légrabilité {Lie, Abhandlungen der Gesellschaft der Wis-
scnschaften, Christiania, 1874' et aussi Gottinger Aach-
richten, i8j4; Matliematische Annalen, t. \ III).
