VIII. — Développement d'une fonction rationnelle

Soient /'(x) et /t{x) deux fonctions entières de x sans facteur commun, le degré de y surpassant celui dey, ; soient a, , ao. . . . . y.,i les racines de f{x) = o. Divisons /" par /, : soient Q, (x) le quotient et — fo le reste; divisons./, par/^ • soient Q2(.r) le quotient et — y, le reste, etc. ; on aura

/ = /lQ.-/2,

= Qi-

fn 2 .

= Qn-l

332 chapituf. vu

On en conclut la formule

en posant --—^ = Q,i ; fn est une constante ; on voit ainsi que

l'on peut toujours réduire une fonction rationnelle en fraction continue.

Soient maintenant =-i> ^r^^ • • • les réduites successives de

la fraction continue (2) : on a d'abord les formules connues

(4) N,-^iD,--D,-^,X,=- I,

et, en particulier, comme on a t-^ = -}.■>

Ci) /D„i-/,N„, = 1;

mais ceci suppose, bien entendu, que/'ety, n'ont pas de facteur commun, sans quoi l'on aurait fT)„-.\ — /^iN„t = o, d'après la tbéorie de l'élimination.

Oi| a ensuite, en vertu de (4),

donc

/ D„ D, ""Vi^-2 dJ •••"^V'J« i^«-i/

OU, en verlu de (6),

/i Ni ' 1 , '

ce qui permet de calculer -^ sans passer par les N/.

Remarque. — Les fractions ~ sont irréductibles; cela

résulte immédiatement de la formule (4). On a, en vertu des formules (i),

on en déduit

/3 = (/iQi-/;Q2-/i-/.(QiQ2-i.-/Q-2, /* = [/i(QiQ2-ij-/Q2]Q3-/iQ,-/,

=/i(QiQ2Q3-Q.-Q3'-AQ2Q3-i)

ou bien

Pour vérifier cette dernière formule, on part de

fi-^ï ~ fi Qi —fi i-

et en remplaçauty*/ par /", D,, — /N/ , . ct/,^, par

/lL»/-2-/N/-2,

on a

ou bien

donc, en supposant la formule vraie jusqu'à l'indice /, elle se vérifie pour l'indice i -\- i : donc elle est générale. De (8) on tire

donc Y^ ne diffère de "^ que j)ar une fraction i^^' dont le

numérateur est de degré ii — i — i , et le dénominateur de degré n -^ i en supposant le degré de f\^ égal à n — i pour fixer les idées; donc :

Les développements de —^ et de ~ suivant les puissances de — ne diffèrent qu'à partit^ des ternies en —^.^

IX. — Expression des polynômes D/. On a, d'après un théorème connu, fi étant de degré n — i,

cp/ désignant le coefficient de .r""' dans fi. Or, a,, ao, . . ., ajj., ... désignant les racines de y(x)=o, ces équations pourront s'écrire

fi+x{a) ^^

mais les formules (8) donnent, pour x =^ a,

THÉORIE UKS FRACTIONS CONTINLES. 335

les formules précédentes peuvent donc être remplacées par

Si alors on pose, pour un instant.

(ro)

i Dj = CqX' — Cl x'~^

les formules fp) deviendront

Cito — Ci-iti -^. . .-^ Coti = o, Cj<i-^C/^l/2 — . . .— Co^i-t-l = O,

Citi-r- Ci-j ti-i-i

Co tîi —

l'élimination des c entre ces équations et i lo) donne

I to

. ti

ti+l

' tr

. . ti+i

li-i

hl-l

tii-l

i ti

■ . tii

Nous poserons

• ■ ti

. . ti^

ti+l ■

alors un aura

336 CHAPITKE VII.

et, en appelant o/ le coefficient de x^ clans D,,

Les formules (8) donnent

d'où

y;-^, D,-, -/,■ D,- = -/( D,, N,- -- N,, Di),

ou, en vertu de (4),

Egalant de pari et d'autre les coefficients de x",

ou, en vertu de (i3),

(ï4) (?i Ff— = 9o;

mais, en appelant qi le coefficient de x dans ()/, comme on a

en égalant les coefficients de x', on trouve

la formule (i4j devient alors

, -, ?'• To T,-