XI. — Développement d'un polynôme suivant les D

Voici une application que M. Rouché a faite de ses formules :

Soit Tsi^x') un polynôme du degré n — ( , on peut poser

( i<s j xji{x)= Âo Do(a7; ^ A]Di(a;;^. . .-T- A„iD„ -i(.r I,

Do (.a;) désignant l'unité. On a, en particulier,

T3(a ) = AoDo(a)-f- AiD,(a) — . . .-r- A„, D„^,(a),

d'où

>^nT(a)D,(a)/,(a) v Do(a)D,(a)/i(a) , ^ /'(a) "-^^'0 /'(a)

c'est-à-dire, en vertu de (i6) et (17 1,

^ roù )D/(a)/i(a) A/

d'où 1 on tire A/, et la formule (i8j devient

(19) rn(a:,)-^^/,D,(.r;^ Y^

XII. — Développement en fraction continue d'une série ordonnée suivant les puissances de - •

Considérons la fonction ^{x) développable comme il suit en série convergente ordonnée suivant les puissances de -

ce X^ X^ X*

et proposons-nous de trouver une fraction rationnelle

ÔqX' -T- biX^-^-i-. . .-\- bi Di{x)'

qui, développée suivant les puissances de -? ne diffère de la séi'ie (i) que par des termes de l'ordre le plus élevé que l'on pourra en -• Soit donc

N/ Co C^ , C2 ^

on aura, en chassant le dénominateur D, et remplaçant =r- par sa valeur.

aoa7'-M- rtja7'---f-. . . = ( boX' -+- bix^-^ -^ ...){— -\ l-r----)-

En égalant de part et d'autre les coefficient des diverses puissances de x, on a, en s'occupant d'abord des puissances négatives,

/ cobi~Ci bi^i-T-...— Ci 6o = o.

Ci bi - - Ci+i bi-i ~ . . . ~ c-2i^ 1 6o = o ;

THÉORIE DES FRAC IlONS CONTINUES.

la considération des puissances positives donne

Cffbf) -^ (fo.

Les équations ( ?>) sont au nombre de t + i ; mais, si l'on veut que ^0: ^1' • • • 11c soient pas nuls, il faut faire abstraction de la dernière, et alors b„, bi, . . . , ne sont déterminés qu'à un facteur constant près; quant à «oj <^)7 • • • , ils seront donnés ])ar les formules (4); O"^ voit ainsi que l'on peut se donner Co = 5oi C) = 54, . . . , c-yi = A'2o et que l'on aura d'ailleurs

Co Cl Cl Ci

Ci C/-,-!

Ci+l

Puisque l'on peut satisfaire aux formules Cq = ^o C2,= 52,,

N ■ on voit que =-^ pourra ne dlllérer de ^(x) que par les termes

d'ordre 2 i -r- i et d'ordre supérieur. Mais, pour que l'on puisse trouver des valeurs admissibles pour N/ et D/, il faut que tous les mineurs de

Si .

a savoir

ds ds

, , , . . , ) ne soient pas nuls.

axo oxi Oxi '

Ceci revient à supposer que la série (i) n'est |ias récurrente, et (]ue 0("P) n'est pas rationnelle. Si entre les i premières équations (3), où l'on remplace c par 5, et la formule

Dj=: bQxi-'bixi-'^-^.

bi,

S.\o CHAPITRE VII.

on élimine les b, on trouvera, à un facteur constant près,

Nous adopterons cette formule en prenant le facteur constant égal à G/; N/s'en déduira. On a alors, à des facteurs constants près,

D2 = X-(SoSî — Si t — x(Si 5-2 S0S3) S^Sj — S'j, ....

Supposons que l'on ait pu calculer ainsi N|, No, ... et D|^ Do, ... ; étudions les propriétés de ces polynômes. Observons

d'abord que la différence r-^ — ~ doit être de la forme ^^^^..., on peut poser

A, . . . désignant des coefficients constants; or D/D/j.| étant de l'ordre 2î + i en x, celte égalité ne peut subsister que si N/+, D/ — D/^( N/ est indépendant de x ; nous poserons donc

Mais les N,- et D/ n'étant déterminés qu'à des facteurs constants près, rien ne nous empêche de supposer K= i ; nous aurons alors

N,+,D,-D;+iN, = i,

ce qui déterminera complètement les quantités G/, quand on se sera donné N ( et D , .

Nous savons que ^ est de la forme — : nous i^rendrons D| = — et N, = i : les quantités N^- et D/ seront alors com-

plètement déterminées.

THÉOniE DES FRACTIONS CONTINIES. b|l

Cela posé, développons j-^ en fraction conlinuc, et sup-

posons i<im, en employant la méthode exposée aux paragraphes précédents. Je dis que les réduites successives seront

Y^j T-T^j •••7 et, en effet, ces réduites sont pleinement déter-

minées par les conditions suivantes :

I" ttGIy^, développés suivant les puissances de-> ont

les mêmes tei^mes en ->

3" N, = i, D,= -' Si donc on pose

les quantités Q seront Lien déterminées, et la fraction continue

dont les réduites successives seront ^> ^j • • •< représentera

la fonction ^(r), qui d'ailleurs pourra se développer en série, sous la forme

D, DjDa ' D.2D

'' ¥(vi)

'- Il

Supposons la fonction F(^) continue et finie quand ./• varie de a 'a h : si le module de x est suffisamment grand, on

pourra développer Tinlégrale

/ X — ac

suivant les puissances croissantes de - sous la forme

et l'on pourra la réduire en fraction continue par les méthodes exposées ci-dessus; on a d'ailleurs

(•2) So= I F{'X)d!X, .... Si = j OL'F y^OLjch.. ....

Soit^ la i"-'"'^ réduite de la fraction continue cherchée et

N,- UqX' -^ ^r- aix'—- — . . .-^ a,-] ^ Dj- boX* -r- bix'-^-!- . . .-^ bi '

ir;^ différera de ^(x ) par des ternies d'ordre 21 — i en -j en sorte que l'on aura