r' — . . .-^ bi X ■ ■ ■ ■ ' ^■•i'-i

les a et les h seront déterminés par les formules

^0 ^= boSo,

«1 = boSi — biSo,

«,-i — boSi-i — . . . -T- 6/i ^0 • o — boSi -T-6i5,i — ...— 6/So,

Occupons-nous surtout de ces dernières équations (3) : elles déterminent les coefficients b du polynôme D/(^.r) qui, multiplié par 0(a:), fera disparaître les termes en ->— 5» •••> -,z, j

TnÉOKlE DES FRACTIONS COMIMES. 3^6

ail lieu de résoudre les équations (3), comme on l'a fait au |)aragraphe précédent, remplaçons les Si par leurs valeurs (2 i : nous aurons

0= / Fi y.}dxb,)y.' — ...-^6,).

c'est-à-dire

l o = / F(a )D/i x)dx,

0= F(a)D,(a)af/a,

0=1 F(a)D,(ajx<-i<^/a.

Ces équations montrent (p. 186) que l'on doit avoir

(5) F(:r)D;(jri^ ^. [(x — a)'(^ — è)''ii .r i],

'^{jo) désignant une fonction qu'il faudra choisir de telle sorte que D/ soit un polynôme entier de degré i.

On voit que, si F( ^" ) conserve le même signe entre «et b, D, aura ses «racines réelles et comprises entre a el 0; enfin les formules (4 ) montrent que, pour / <y, on a

/ F( ajDj(a;Dy( a^rfa = o.

Prenons Fi .r ,= i , a = i ^ 6 = 1 : la formule [i) donne

(3) Hx)^ f — — =.lug:^^^^,

et les équations ( i ) se réduisent à

/ Ui{x)o:--^f/-x ^ o;

344 CHAPITHE V.II.

les polynômes D/ sont, à des facteurs constants près, les polynômes de Legendre; on a d'ailleurs

et (3) donne

So = 2,

Nous allons prouver que, si l'on prend F(.r)= -> les polynômes D seront précisément les X„ de Legendre, ce qui fournira l'expression des X„ sous forme de déterminants. Nous partirons à cet effet de la formule

XoZn-i- 3X|Zi--. . .-^(2«-m)X„Z„ r^ TZ.-— (Z„-viX„— X„4.iZ„); en intégrant alors de — ^ i à -r- i , nous aurons

% — { n -^ \)^,i f - "^' dz ~- (n-T-i)Xn+i 1 ~- dz

ou, en divisant par X„X«^, [n -- i).

/ ^ri+\ ^ti \ dz

r /z„4-i z„\ dz

(ft-r-l)X„X

Faisons dans cette équation /i = o, i , 2, . . . , /i et ajoutons toutes les équations ainsi obtenues; nous aurons

XoXi ' 2X1X2 ■■■ ' (Ai -1- J)X„X„+, J j \X„ + i Jz-T

Si l'on fait // ^= co, ;r.^^^ lendra vers zéro : si comme on doit

X«-rI

le supposer, niodjc >- 1 et si :; -< 1 en valeur absolue, et l'on aura

I I I /ar-HI

Xu\, ■'. \,\-2 ' 3\2.\, ■■■ ='V ^ — '

formule équivalente à

lOî

I Sx

Si nous prenons F(xj ^= 1:^1 — -^'t nous aurons

i% TT

i/ym

et il est facile de voir que le polynôme D, est précisément le polynôme cos/arccosx. Pour s'en convaincre, il suffit de faire a = cos" et Ton a, au lieu des équations (4)<

(( COS'( }d-( = O,

/D/(^cosY icos'-' Y d'[ = o,

c'esl-à-dire, en général,

D, ( cos Y ) cos m -; d'( = o, m < /,

équations satisfaites pour D/fcos"'i:i= cos/". Ainsi les polynômes ])i sont, à des facteurs constants près, les polynômes cos /arc cos .r.

34(3 CIIAIMTIIK VU.

Considérons la fraction continue

"iX --

sa valeur est donnée par la formule

•jlx — y ou

j-- — ixy -^ I — o ; d'où l'on tire

et, par suite,