IX
X±Ls/x''-~\ ^^ L
OU
X z= \Jx'^ — \ — IX
On en conclut
et, par suite,
et il est clair que c'est le signe -\- qu'il faut prendre. Si l'on forme les dénominateurs des réduites, on trouve
Qi = 2-^, Qo = 2, formules satisfaites pour x = cosy, Q„ r^ a cos/iv.
XIV. — Développement en fraction continue d'une série ordonnée suivant les puissances de x.
Considérons la l'onction /(x) définie par la fraction continue suivante, où r/,,, «i, ... sont indépendants de x,
ce
et, sans nous préoccuper, pour le moment, des conditions de
converfirence de cette fraction, désignons par .— ' =^ <7„ ~ - >
~ j ■ ■ ' 7T^' ■ ■ ■ les réduites successives. Nous aurons (p. 322 )
P, = UqUi — X,
P2 — aoaiao ~ ^"(«0 ~ "2))
Q.2 = «1 «2 — ^■ i'i) P/!t-l= P/(f<f«-l-^ Pn— I^j
(3) Q,i+-i^ Q«a«-i — Qn-1^,
et, approximativement ('p. 323),
Les polynômes Po,,, p2«+j> Qs//? Qsw+i sont de degré /?, comme il est facile de s'en convaincre à l'inspection des formules (2 ) et (3 », en obsei'vant que 1*, et P^ sont de degré 1 et que Q, et Qo sont respectivement de degrés o et i .
Observons enfin que
i)"xn-
Qn+1 M» . QraQ«-i-l
et que par conséquent la ix'duite de rang- ii donne une valeur approchée de la fraction continue qui dépend des termes d'ordre w -f- i .
Cela posé, considérons une fonction /'(^), développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de X,
{ () I /(^ » = .So -^ ■Si^ — HX- — . . . — 5„a7« - . . . :
si une pareille fonction est développable en une fraction continue, telle que ( i), il faudra que l'on ait
to désignant un terme d'ordre /i -f- 1 en x. Les considérations précédentes ne sont peut-être pas d'une rigueur excessive, mais elles sont amplement suffisantes ponr montrer comment on est tout naturellement conduit à lanalyse que nous allons maintenant développer.
Supposons que la formule (^6) ait lieu à l'intérieur d'un cercle de convergence de rayon R. Posons
Ps/j d^— d^x-^. ..-^ d„x"
Q2/i %—^iX-^...— tnX"
w désignant des termes de degré supérieur à xn. Nous aurons
d^i-^ dix -- . . .-T- d,iX'^
et nous satisferons à cette égalité en prenant
dii ^~~ Sq P/i — - $1 prt— 1 -^ . . .-r- S,i po,
O = Si 3
1 (-*« "~ ■^2 pn— 1 ~ • • • ~" ^n-t-l l'-'O?
Les n dernières équations déterminent les rapports
t^O • pi • • • '• i^in
THÉORIE I)i:S KK ACTIONS C O X T I MES.
et, comme
S:2« — pn^ ~~ p«— 1^
Po.
on en conclut que, en appelant Uo,, un polynôme qui ne diflere de Q^// que par un facteur constant, on a
en posant de même
Pg»^! ch-^ d^x ^. ..— d„+i x"+i Q2«+i ~ [io -t- [il ^ — . . . -^ 3„^«
et, en procédant comme tout à l'heure, on est conduit à poser I X" x"-^
OU encore
^în-i-l —
nous ferons encore
5„+2 O Son+l O
Rappelons-nous maintenant que, si l'on a
R =^— «11 «22 • • -«rtrt,
35o CnAPITRE VII.
on a l'identité (p. i6i, t. I)
d-^R dR dR ôR dR
datjdaki àccij Oa^i dan '^(ikj
et, en appliquant cette formule aux déterminants Uo,, et Usz/^-i , on a
^ 2«-r I ^2«-l ^ "^ ^2«— 1 ï'2n + l Uo/i ^2«"
Si l'on pose alors
(lO)
Cl C5
^ et n — A ^ «]
a-in =
s 2 S2 ' "2'î+l — Cl Cl
ces formules se transforment dans les suivantes
Q,„ =:rQ2„-2 — «2« Q2;j-1, Q'/i + l ^ ^Q2«— 1 ~^ (l-2n+l ^lill-
qui peuvent être remplacées par la formule unique
Q«+l = 3?Qre-l -H -^n^-l Q/t :
Qi, Qoj • • • sont alors les dénominateurs des réduites de la fraction continue
Je dis que les polynômes P„ sont les numérateurs des mêmes
réduites. En effet, appelons un instant P, , P!, P^,. • . .
ces numérateurs; on sait que
ou que
(n) P«+iQ«-P;iQ«+i = l-0'*a7«+i;
(lu 11 autre côté,
(I) ôtanl un terme d'ordre n ~~ \ en x et, par suite,
' «-t-I Qra — Qrt+i i rt
est aussi d'ordre /i -f- i ; cette quantité ne peut donc être que de la forme yx"+', y étant une constante. Or on sait que les formules (i i) déterminent les polynômes P à un facteur constant près ; donc les P sont égaux aux P', à un facteur constant près (le même pour P, et P, pour Po et P.,, . • .); or on constate directement que P, = P, ; donc :
Les a,i étant déterminés par les formules ( 1 1). la série (6) peut être remplacée par la fraction continue (i).
