XV. — Formule de Gauss

Posons avec Gauss

,,, ,, a. 3 aia — 1)3(3 — 1) ,

11 est facile de voir que le cercle de convergence de cette série est i et que, par suite, la fonction F est bien déterminée pour les valeurs du module de x moindres que un, quand a, p, Y sont quelconques. Cette série peut se convertir en fraction continue comme il suit.

Il est facile de constater que l'on a

/ F(a, |3-M, Y-^i,a;)-F(a, fj, y, x)

il suffit pour cela de remplacer les fonctions F par leurs développements. Posons

FCa, 8-T-i,Y-t-i,a7) ^ ,,

divisons (i; par F(a, |j -h i , -; ~ I3 ^'1 \ elle deviendra

ou, en observant que la l'onction F ne change pas quand on change a en |3 et vice versa,

I Y — P F(3 — I, a — I, Y-T-2, ar)

«l>(a, p, Y, ^; ~ Y^ï^'i F( ^-1-1, a, Y-^i, ^) c'est-à-dire

OU

I — aj^^i—^^ *(p-^i, a, Y^i, ^)

d'où, changeant a en [j -i- i , jS en a, y en 7 -r 1 ,

«l'fp^i, a, yt-i, 37)

on tire de là

(Y-^ij(Y — 2)

Cette formule donne le développement de $ en fraction continue ; en faisant ^ = o, on a

F (a, o, Y? ^) = I et

et l'on trouve, en changeant y en y — i. F (a, I, V, x)=

bT

OU 1 on a pose

rt = - )

(a-vi)Y

fl —