XVI. — Digression sur les nombres - et e

Nous avons vu que les transcendantes de Bessel se réduisaient, dans des cas particuliers, à des facteurs près, aux intégrales successives

' xsinxdx, I x I xs\nxdx'-, .... Posons

Uo=sina:, L 1 = / X sinx dx = 1 xUodx, ....

\j ,{-(- 1 — I X \j n dx ;

on aura, en intégrant par parties,

Uo = sin j7,

Ui = — X co%x -I- sinar,

U^r^SU, -a72Uo,

354 CHAPITRE Vil.

et l'on soupçonne la formule générale

(i) LI„4-i = (2/i-+-i)U,j — a;2U„,,

que l'on vérifie en prouvant qu'elle a encore lieu quand on change n en n -^ i . A cet effet, multiplions (i) par a: et intégrons de o à a; ; nous aurons

(a) U„4-2 = ('2rn- i) Ll„^i — / x^Un-idx.

^^ Ci

/ x^ U„^ 1 (i.r = I I / X U„-i dx j X- I

— / -ixdxi I xV/i-idx

ou

Jl X^\Jfi-ldx = X'Un — 2/ xUndx^X'Un — llJn+\- 0 *^0

La formule (2) s'écrit alors

U„-,-2 = (an -^- 3)U,;+i — a;2U„.

La formule (1) est ainsi établie.

Ceci posé, il est évident que lJ,i est de la forme

U„ = CjCosa; -4- S„ sin^, Ch et S,i désignant des polynômes entiers en x, et la formule (i) peut s'écrire

C„4-iCosa7 -f- S„4-isin:r = ( 9. /i -f- i){C,iCosx -}- S„sinr; — x^{ C,i- 1 COS57 -f- S/j-isina:).

Les coefficients de cos^ et sin^ dans les deux membres de cette équation doivent être égaux; en effet, quand on a

A cosa? ~ B sina; = A'cosa: -+- B'sina7,

on en conclut

A -^^ B tanga^ — A'-t- B'tangor ou

A — A' — (B' — B j tang.r.

TDÉORIE DES FRACTIONS CONTINLES. 355

Cette égalité est impossible si A, A', B, B' sont des polvnômes,

tels que B^' B'; car le second membre est inlini i)0ur jr ^ ->